En opedagogisk historiaJag har slutat snurra mynt på föreläsningar. Dels visste många redan om det. Dels måste jag ju ändå alltid be om ursäkt för att mynten inte är ovala. Det är för lätt. Du vet att myntet kan snurra fritt kring vilken diameter som helst. Vore det inte för friktionen kunde jag lägga det platt på bordet och snurra det kring mittaxeln. Men ett ovalt (elliptiskt) mynt kan bara snurras kring tre axlar, och på högkant endast kring stor- och lillaxeln. Dessa tre tröghetsaxlar är vinkelräta mot varandra och deras existens har varit experimentellt känd sedan 1755. Matematiker har vetat det sedan 1826 när Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) gav beviset. Hans motiv dikterades av tillämpningen, som står i arbetets titel. Matematiskt är hans sats, Spektralsatsen, en sats om matriser, kvadratiska talscheman. Det visar sig att en stel kropps rotation kring olika axlar (genom tyngdpunkten) beskrivs av ett sådant talschema med 3 gånger 3 = 9 tal, men med en viss symmetri, så att endast 6 storheter behövs för beskrivningen. De 9 koefficienterna beskriver hur den roterande kroppens energi beror av rotationsaxelns riktning, samt vinkelhastigheten. (exakt hur kan jag inte beskriva här). Energin vid given vinkelhastighet beror på massans spridning kring rotationsaxeln - kring vilken axel vill du snurra en cigarr för att få upp ett visst snurr med minsta möda? Att det handlar om just 3 gånger 3 tal beror på att vår värld är tredimensionell. Problemet har alltså en geometrisk och mekanisk inspiration men Cauchys första bevis saknade allt av geometrisk åskådlighet. Det var algebra. Han räknade på polynom och deras nollställen. Inskränkningen till tre dimensioner begränsade den tekniska komplexiteten men tillförde ingen intuition. Varför gjorde sig Cauchy denna bevismöda? För att få veta? Han visste. För sin tillfredsställelse? Han kan inte ha blivit tillfreds. Han bevisade för att det måste gå, och kanske för att öva sin teknik. Jag tror också han förberedde sig för större problem. Tre år senare publicerade han ett bevis för samma sats men för symmetriska talscheman med n gånger n tal. Problemet är nu i n dimensioner. Stora mekaniska system innehåller en uppsjö av koordinater, som anger lägen och hastigheter för dess olika komponenter. Antalet koordinater, eller "frihetsgrader", som behövs har en stark matematisk analogi med geometrisk dimension. Rubriken på hans arbete hänvisar denna gång till långsamma störningar av planetbanor, sekularstörningar (av saeculum, århundrade). Även den teorin, som många andra, leder till de här symmetriska matriserna. Beviset är nu renare men handlar fortfarande om rötter till polynom. Det har en besvärande lucka som täpptes först 1858, av Karl Weierstrass (1815-1897). Vad som ännu fattades var att Cauchy inte var tillräckligt geometrisk. Den mest fundamentala insikten om en stel kropp och dess rotation kring olika axlar är nämligen den att den kan ersättas av en ellipsoid med samma tröghetsegenskaper. Det hänger ihop med att ellipsoider beskrivs av andragradsuttryck (i rumskoordinaterna) och att även energier gör det (tänk på mv2/2!) En ellipsoid är vad man får om man skalförändrar ett klot på två vinkelräta håll, t ex trycker ihop i en riktning och drar ut i en annan. Den deformation som överför klotet i ellipsoiden, eller tvärtom, är lineär. Det innebär bl a att den påverkar varje liten del på samma sätt. Punkter utmed en linje förblir i linje och proportionerna utmed dessa linjer bevaras. Det är den ena av dessa deformationer (de upphäver varandra) som är den intressanta, ty den kan (utförd två gånger) beskrivas av den här tröghetsmatrisen. De 9 koefficienterna beskriver samband mellan olika punkters lägen före och efter deformationen. De axlar som medger fri rotation (inga yttre krafter och moment) råkar vara egenvektorer, riktningar som vid deformationen övergår i sig själva. De är just i dessa riktningar som skalförändring sker och de är vinkelräta mot varandra. Spektralsatsen, höjdpunkten i alla högskolekurser i lineär algebra, säger att detta beror på koefficienternas symmetri, som har fysikaliska orsaker och kan formuleras geometriskt, även i n dimensioner. Det verkar som om man måste arbeta i n dimensioner för att se problemets geometriska karaktär! Man tvingas eftersom kalkylen spårar ur. Man kan nu göra bevis som skalar bort en dimension i sänder tills problemet blir löjligt. I det tredimensionella fallet behöver man nu bara veta att ett reellt tredjegradspolynom har minst en reell rot, och det är inget problem alls! Sådan verkar först matematikens historia: ostrukturerad och opedagogisk. Det svåra kommer först och definitionerna sist och vår egentliga förståelse av resultatet är från vårt eget sekel. Man förundras ofta över de långtifrån eleganta och intuitiva originalbevisen. Hur kom man på dem? Det fanns nog mycket starka utommatematiska indicier och motiv för dem. Men när jag på en föreläsning kan ge ett intuitivt och åskådligt bevis (speciellt i tre dimensioner) så är det för att historien är pedagogisk. Matematiker har i alla tider stannat upp, korrigerat, prövat sina nya ideer på klassiska resultat och problem och därvid funnit de mest överraskande förenklingar och belysande analogier. Ibland gör de det i sin undervisning och en liten bit är min egen. Det är så vi emellanåt kan uppleva lyckan att en förstaårsteknolog ser ett klassiskt resultat mycket klarare än en av 1800-talets största matematiker.
|