Analys A och B

Analys-kurserna är numera gemensamma för civingprogrammen, TATM72, TATM73. Den traditionella uppdelningen är i en- och flervariabelanalys, utom att numeriska serier och potensserier förs till B av utrymmesskäl (kanske också av mognadsskäl).

Analys A har väl kanske den klaraste kvalitativa strukturen av alla grundläggande matematikkurser. En viktig utsiktspunkt är Analysens Huvudsats som knyter samman differential- och integralkalkyl. Med utsiktspunkt menar jag ett delmål från vilket man kan blicka tillbaka och se att allt var nödvändigt, och därpå blicka framåt och se vart man är på väg.

Från denna punkt kan man säga att kursen grenar ut sig mot tre huvudmål: integraler och integrationsteknik, taylorutvecklingar och differentialekvationer, alltsammans viktiga modelleringsverktyg.

En (med nödvändighet) långsam utveckling pågår. Integrerandet har kraftigt dämpats, vad avser färdighet. Det kan vara viktigare att ställa upp integralerna. Examinatorerna vill också förstärka diskussionerna av sambandet mellan integraler och summor, vilket bättre motsvarar tillämpningsbehoven.

Man ska dock hålla i minnet att integrationstekniken har andra användningar än rena beräkningar (t ex konvergensförbättring) och att beräkningen av primitiver också är en ständig påminnelse om elementära funktioners egenskaper.

Taylors formel, med ordo-fel, har alltför länge knutits till en enda uppgiftstyp, gränsvärden av typen 0/0. Den minst lika viktiga Lagrangetermen kommer att ges utökat utrymme. Att bemästra numeriska fel kräver lite mer av en experimentell attityd, och tålamod med att första ansatsen kanske blir fel ("den ädla konsten att säga 'äsch'"). Detta är erkänt svårt, men bör höra till den allmänna andliga träningen på en högskola.

Differentialekvationer urartar lätt till kokbok och borde kanske handla mer om modellering, att ställa upp en ekvation. Det senare stannar dock lätt vid den enklaste typen av ordning 1, eftersom "skolfysik" inte längre är vad man kunde tro.

Min egen förundran i samband med fortsättningskurser (t ex transformteori) är hur många studenter som kan mala en ekvation genom ett maskineri utan att ha en aning om hur resultatet ska se ut, vilket ofta är det enda intressanta. Jag frågar: "hur ska svaret se ut" och får svaret "förskjutningsregeln", inte lösningen, utan lösningsgången.

Man kan undra lite över den vikt som i början tillmäts epsilon-delta-formalismen på alla program. När jag tar upp gränsvärden i Analys B märker jag att numera ingen av mina studenter kan vidareutveckla denna idé i det nya sammanhanget. Berättar jag vad det handlar om får jag börja från början, vilket inte leder så långt.

Jag har kommit till slutsatsen att momentet (på denna nivå) är meningslöst för rätt många och att problemen bäst formuleras om i termer av: "visa att uttrycket går mot noll medels vinkeloberoende majorant". Jag misstänker att den idé man analogt ska träna i en variabel är att majorera med "begränsad faktor gånger nollgående faktor". För den som har läggningen kan detta sedan lätt förfinas till ett epsilon-delta-resonemang. Man begränsar intervallet för att begränsa den begränsade faktorn. Man förfinar vidare för att betvinga den nollgående faktorn.

Inställningen tycks ibland vara att "går det så går det", en del lär sig och resten tar ingen skada av att misslyckas. Min följdfråga blir om inte tiden i många fall kan användas bättre. Jag tror att lärare på ett mycket mer aktivt sätt måste differentiera inlärningsstöd och problemurval i sina grupper.

Kursinriktningen vållar i alla händelser ingen kontrovers att döma av enkätsvaren och de tidigare diskussionerna i matematikreferensgruppen.

Analys B räknar jag till mina sorgebarn. Jag har just föreläst denna kurs för femte gången; till skillnad från nästan alla övriga kurser jag haft, ett tiotal, är detta den enda som jag inte i nämnvärd utsträckning lyckats utveckla. Det eventuella motståndet från kolleger, sedan fyra kurser blivit en, betyder troligen mindre än inlärningsmotståndet hos studenter, som är vana att icke göra sig några som helst visuella föreställningar om matematik. En annan hämmande faktor är kurslitteraturen.

Även Analys B består av differential- och integralkalkyl. Dessa möts inte i någon huvudsats (som vore Greens formel och liknande) utan i den tekniskt svåra satsen om variabelbyte (som t ex i lämpliga fall kan visas medels Green). Här borde differentialkalkylens geometriska nerv blottläggas. Istället blir allting siffror.

Det är också anmärkningsvärt att vi har så svårt att förmedla vad gradienter är för något. För studenterna blir de två eller tre derivator beräknade någonstans, inte en vektor med vissa egenskaper.

Jag frågar varje år studenterna om de kan förklara varför en gradient inte kan peka tangentiellt i motursriktning runt en hel cirkel (svar:potentialen skulle isåfall växa runt den slutna kurvan). Ett par år har en eller två kunnat svara, senast ingen.

Det hänger inte på hur saker förklaras utan på hur de bearbetas. Övningsmaterialet i Analys kommer säkert att omarbetas av avdelningens flitigaste kursutvecklare.

Jag skulle själv, inspirerad av tillämpningar inom robotteknik, olineär reglerteknik, neuronnät och olineär optimering, vilja se en kraftig förskjutning av Analys B hän mot differentialkalkylen, med en mycket mer geometrisk vinkling av uppgifterna. Med tanke på den vikt som överallt tillmäts lineär algebra är detta ett utmärkt sätt att vidmakthålla och utveckla detta ämne.

Övningarna på kedjeregeln har i säkert 40 års tid kulminerat i transformationer av andra ordningens differentialuttryck. Detta beror mest på att sådana uppgifter, utan varjesomhelst struktur eller åskådning, varit givna räddningsplankor på tentor, med 80-90-procentigt utfall. Avtagande räkneförmåga hos studenterna har här biträtt en länge önskad förändring. Tentamensuppgifterna tenderar att bli räknemässigt och logiskt enklare, men mer varierade.

Integralkalkylen har stadigt dämpats, substitutionerna är färre, områdena blir allt mindre snåriga. Uppställandet av gränser i trippelintegraler är en mycket nyttig visualiseringsträning som inte bör skymmas av följande räknekomplikationer.

Optimering fungerar i regel bra på kompakta områden, där räkningarna följer ett strikt schema. Åtminstone om uppspårandet av stationära punkter inte ställer något större (isåfall matematiskt ointressant) problem. Reduktion till kompakt inför ett utredande moment och blir därför svårare. Jag tror att optimering på nivåkurvor ofta är mer tillgängligt och upplysande, men lärobokstäckningen är svag. Sådant kan utmana leklynnet och tävlingslustan eftersom många val av nivåkurvor ger resultat, men ofta med mycket olika möda. Vem valde bäst?

Konvergensundersökningar är återigen utredande kunskap och erkänt svårt. Det är dock lättare att bestämma konvergensområdet för en potensserie än att summera den (i de fall detta går).

Det är mönsterigenkänning av två olika slag. I det första fallet är det uppgiftslydelsen som anger mönstret, en i alla delar känd lösningsgång att följa. I det andra fallet är det fråga om att ledas till rätt manipulationer - derivation, integration, division, substitution - av uttryckens utseende.

Detta inslag nämns inte explicit av deltagarna i min undersökning, men deras kurser är fulla av objekt definierade genom serier och generaliserade integraler. Man ska naturligtvis veta något om dessas konvergensområden. I övrigt ska konvergensundersökningar ses som träning i storleksordningar, hastighetstabeller och taylorutvecklingar (alltid efterfrågat!). Samtidigt tror jag det vore bra för perspektivet om studenterna övades mer i resttermsuppskattningar konvergens-, eller divergenshastighet, samt konvergensförbättring (partiell summation och integration). Enda spärren är väl tiden.

Uppenbart är att flertalet studenter inte lär sig se det vi hoppas; t ex att direkt ur en serieterm utläsa dess tecken och storleksordning. Det är ett viktigt pedagogiskt problem att fundera över.

Åter till tablån