D-linjen och dess matematik

Jag har ombetts att ge synpunkter på mottagandet av nybörjarstudenter på D-programmet. Jag bidrar ur matematikcentrerat perspektiv. Matematiken har stort utrymme i första årskurs, 16 poäng, och har stor betydelse för studenternas studievanor och förmåga.

Vidare har vi inom TM (med vissa undantag, verksamma på andra program) en starkt studentaktiv och social tradition. T ex de ofta kritiserade avskrivningslektionerna av KTH-snitt försvann hos oss redan kring 1978.

Vi har också gott rykte på D-linjen, för genomtänkta och välstrukturerade kurser, och för engagemang i studentens hela studiesituation.

Det finns ett nybörjarproblem som ofta kallas matematikproblem; bland annat beroende på försämrade förkunskaper från gymnasiet. Det är inte bra för matematiken att den utpekas som ett problem. Den bör utpekas som en möjlighet, av de skäl jag beskrivit.

Tematermin tre, t ex, har visat att matematiken inte har någon särställning alls. Analys B går parallellt med Elektromagnetism och Kretsteori I. Under 96 och 97 har Analysen haft aningen sämre resultat än Elma (där man åtminstone 96 sänkte poänggränsen under rättning), och bättre resultat än Kretsteori. Dessa ämnen har blivit svårare av att matematiken skjutits upp; och matematiken har knappast blivit lättare.

Dessa tre kurser kan sägas representera det naturvetenskapliga och tekniska inslaget i D-utbildningen. De odlar likartade intellektuella kvaliteter som en D-student kan avvisa eller omfatta i lika mån.

Det kan alltså vara ett problem att en del D-studenter inte är intresserade av vare sig den traditionella ingenjörskonsten eller dess matematiska redskap (vilket för mig att undra över de 60 nya platserna - had det inte varit bättre att lägga dem på C och Di; vidare måste man undra hur programmet marknadsförs). Studenterna blir alltså varken mer eller mindre motiverade för matematik av att någon s k tillämpning undervisas jämsides. Snarare kan de bli störda och stressade av att saker inte finns när de behövs, eller av att enstaka försök till inbördes anpassning av kurser skapar en hattig och onaturlig struktur.

Analysföreläsaren på IT-linjen känner sig tvungen att föreläsa och undervisa differentialekvationer före integraler, vilket berövar honom nästan hela floran av betagande exempel. Detta är det oskyldigaste exempel jag kan komma på.

Efter många samtal med studenter är jag fullkomligt på det klara med deras önskan om en rak, logisk och överskådlig uppläggning inom både matematik och dess tillämpningar. De vill i regel ha matematiken väl inarbetad och tillvand inför tillämpningarna. Den får inte skrymma och därmed skymma. Den ska bidra till en koncentrerad, ekonomisk och överskådlig organisation.

De kan under kursens gång vilja se enkla exempel på vad begreppen betyder och hur de används. Rätt många efterlyser inte ens detta utan är mer fascinerade av teoribygget, speciellt i lineär algebra. Jag misstänker att man, kanske med delvis ändrade examinationsformer, kan uppmuntra studenter att ta ut den kvalitet, som lockar just dem, ur respektive kurser.

Detta är ett avståndstagande från den skrivbordsfilosofi som brukar kallas "just-in-time". Matematikens olika "delar" ska läras ut precis när de behövs. Då ska studenterna bli motiverade och därmed blir allting lätt.

Det är många fel i denna filosofi.

För det första blir nästan inget lättare av att man är motiverad; möjligen kan man vilja ägna mer tid åt det. Om nu tiden skulle råka finnas och lätt kan överblickas - eljes blir man enbart stressad och splittrad.

För det andra består inte matematiken av fristående "delar" som kan undervisas oberoende av varandra - det första man behöver kan mycket väl kräva mängder av bakgrundsmaterial. Ideer, begrepp, redan omsatta i varierande situationer, och inbördes anknutna, är ändå oftast det som används, inte isolerade resultat.

För det tredje kan grundträningen av begrepp och tekniker, uppbyggnaden av förtrogenhet och associationer, inte forceras.

För det fjärde kan ingen enda tillämpning på bredden motivera alla de begrepp som bearbetas i en grundläggande matematikkurs - än mindre kan en enda tillämpning påvisa matematikens förmåga att belysa analogier mellan helt olika ämnen. (Det är därför mer meningsfullt att diskutera "integration", eller interaktion, mellan besläktade tillämpningsämnen).

För det femte ställer denna filosofi, av pur tanklöshet, ämnesorganisationen och undervisningen i förgrunden, vilket mer än "konventionella" uppläggningar reducerar studenten till passiv mottagare.

För det sjätte är det rätt många studenter som accepterar att arbeta med matematiken för dess egen skull, om målen syns, om känslan av framsteg finns, samt känslan av mening och förståelse. Jag brukar påpeka värdet av återkommande repetition, speciellt när något nytt tar emot.

Jag tar avstånd. Jag är kritisk. Är jag reaktionär? Jag är realist.

Vi har de studenter vi har och kan inte göra andra. (Göran Sonnevi har sagt det vackrare). Studenter är traditionellt konservativa och misstänksamma mot nymodigheter. De kan ha varit med om sådant förut. De kan ha haft lärare som hade, eller påstod, käcka föresatser men snabbt resignerade. De är idag också, genom försämrade förberedelser från gymnasiet, osäkra och ovana att organisera sig själva. Det duger inte att konfrontera dem med allsköns radikalism importerad från t ex det i viktiga hänseenden klart elitistiska Hälsouniversitetet.

En vanlig radikal föreställning är att studenter tvingas gå på lektioner dagarna i ända och aldrig får tid att reflektera eller söka kunskap själva. Ingen tvingar dem. Det är därför riktigare att fråga varför studenter gör detta val. Är de rädda för att tänka själva och köra fast i sin ensamhet? Sannolikt, eftersom de inte har någon vana alls att hantera sådant. Detta är en viktig punkt på vilke undervisare och/eller studentmentorer kan ge värdefullt stöd. Det borde vara ett explicit uppdrag för matematiken att biträda studenternas förvandling från skolelever till studenter.

I våras diskuterade jag effektiviseringar av lektionsformen, mer förberedd verksamhet, uppföljning i halvklass, osv. Motståndet var kompakt. Jag omvandlade en knapp tredjedel av lektionerna till jour. Inget tyder på att hemarbetet ökat. På lektion har studenterna gjort vad tidigare årgångar gjort, men vi har nu inte längre haft tid att följa upp det gjorda, diskutera formaliteter, sätta in i större sammanhang, förbättra metoder.

Ja, jag är reaktionär. Jag har varit radikalare än skrivbordsvisionärerna någonsin skulle våga, det var för 10-20 år sen. Då kunde jag, i kurser utan föreläsningar, kräva att studenter både läste och övade i förväg, sen följde vi upp det. Jag hade framgång ibland, ibland inte och det var sällan populärt.

För 10 år sedan gav jag upp. Jag har senare år retirerat ytterligare.

De progressiva experterna kan hävda att pedagogiken är värd popularitetsoffer. Jag finner inställningen, och det som den legitimerar, vidrig. Då är inte undervisare människor längre, utan redskap. Finns det någon motsättning mellan god och populär undervisning så finns ett systemfel. Det är ledarskapets sak att lösa motsättningen. Vi undervisare vill inte ha konfrontation med studenter. Vi vill ha en rak, öppen och varm dialog, samarbete och empati.

1990 började vi försöka återinföra den klassiska lektionsmodellen med studenten vid tavlan. Det gick några år, bäst i Analys, men mest avgörande i Lineär Algebra, där resultaten pendlade mellan lysande framgångar och fiaskon, ibland med motsatta utfall i parallellgrupper med samma lärare! Detta genomförande var för äventyrligt och lades ned.

Idag är resultaten i t ex D- och Y-linjens lineära algebra på samma nivå som det goda året 94-95. Skälet till de senare årens förbättringar är att vi inte längre tar studenter till tavlan och att vi - i andra änden av spektret - blivit mindre beroende av tredjeårsteknologer som gärna dras till tavlan istället för bänken.

Det är alltså återgången till något tryggt och beprövat som vänt tendensen i Y- och D-linjens lineära algebra. I Analysen har det varit mer aktuellt med en översyn av kraven, eftersom detta ämne är mer förkunskapsberoende.

Vi diskuterar frånochmed nu framtiden.

Om jag ser problem med nybörjarmatematiken kan det t ex ha att göra med svårigheterna eller oviljan att alls komma igång.

Tidigare arbetade studenter aldrig så mycket som under de två, tre första veckorna av höstterminen. En del leddes att ompröva sin studieteknik för att inte knäcka sig.

Idag märker jag mer av en fixering vid mål, representerade av tentamensuppgifter. Det är dessa man ska lära sig, och eftersom de redan finns kan man lära sig dem direkt utan konstiga omvägar. Kommer de inte nu kommer de senare och alltså kan man vänta med sin egen insats.

Detta är speciellt tydligt på I-linjen men liknande tendenser finns överallt. Motmedlet borde vara att redan tidigt ange de verkliga målen och vägarna dit. Det duger då inte längre att räkna upp moment. Målen ska synas och kurserna, Analys A, Lineär Algebra och Analys B måste beskrivas, som de odelbara helheter de är, i termer av kärnresultat, och matematikens roll i enkla tillämpningar.

Kursböckerna har exempel på det senare, vilket är bra men inte helt tillräckligt. Man ska också i kursernas slutskede känna att man kan göra något med materialet och att man är på tröskeln till tillämpningarna. Det är också ett av skälen att jag pläderat för att Y- och D-linjens studenter ska komma i kontakt med systemtekniska ämnen, främst reglerteknik, tidigare. Mitt förslag om en systemteoretisk tematermin är i denna anda. Den skulle isåfall ligga termin fyra.

Beträffande Analys A och Lineär Algebra är kärnresultaten lätta att ange: Analysens Huvudsats och Spektralsatsen. Ingetdera är det egentliga målet. Huvudsatsen, där integral- och differentialkalkyl löper samman, öppnar för användingar av bägge, mest uppenbart Taylors formel, differentialekvationer och integrationsteknik. Allt detta är viktigt för modellering, men i mitt tycke är övningsrepertoiren en smula stereotyp. Kanske nuvarande krisskede är fel tidpunkt att diskutera förändringar till det mer anspråksfulla.

Spektralsatsen ingår i det allmänna sammanhanget av egenvärden och egenvektorer och deras tillämpningar. Det är oerhört viktigt. Ett annat mål är minstakvadratmetoden. Båda är bra mål, ty de motiverar det mesta av kursen och stärker den geometriska känslan. De skulle heslt knytas samman genom SVD. Ingen här tror att studenterna orkar med det.

Men vägen är lång. Jag har försökt råda bot på detta, i Lineär Algebra, genom att i den inledande texten, Krypa-Gå, lägga in fem-sex exempel som i matristermer beskriver hur de här målen ser ut. Boken Med Kossan På har ett genomgående exempel på ett litet digitalt filter på vilket praktiskt taget alla begrepp kan hängas upp. Höjdpunkten (stjärnmärkt) är Diskret FourierTransform.

Mitt första konkreta förslag är att något liknande görs i Analys A! Om det går vet jag inte. Inga försök är förgäves, man lär sig alltid något.

Mitt andra förslag är att den individuella hjälpen i lektionsalarna får en annan inriktning och struktur. Studenternas inlärningsprocess måste följas på ett mer helhetligt sätt, med syfte att göra dem själva medvetna om den. Målen får inte ersättas med skenmål i form av konstruerade apkonster, alla ska se dem och alla ska ges chansen att nå dem.

Det är vägarna som måste skifta mellan individerna. Hur brett och djupt vissa delmoment och stadier bearbetas. Vi har en viktig roll att hjälpa dem välja.

Jag har alltför ofta sett studenter sitta och stångas med uppgifter som, åtminstone just då, är alldeles olämpliga för dem. De kanske tror att dessa "ingår" eller är absolut nödvändiga för den senare förståelsen. Det kan tänkas att man löser detta lilla dilemma genom att låta mer försigkomna studenter ta upp en del sådana uppgifter på tavlan! Eller kunde de dela med sig inom lämpligt sammansatta handledningsgrupper.

Studenter måste också få bättre hjälp att använda tillgängliga läromedel, t ex böcker. Man kan inte läsa och förstå allt. Många nöjer sig med att slå upp utförda exempel, försöka byta siffror, ibland går det, ibland inte. Det senare kan vålla irritation. Man kan hjälpa studenter att finna bättre modeller, SQ3R och liknande.

En sådan inriktning kan bli en smula närgången och kräver mycken takt. Men ingen blir bättre av att få ständigt likartad hjälp med sifferfel i isolerade övningsuppgifter.

Huruvida en intensivare kontakt med studenterna är möjlig med nuvarande tidstillgång är vanskligt att avgöra. Men alla behöver inte samma, eller lika mycket, hjälp. Jag påminner om mitt gamla förslag om behovsgruppering även om jag just nu, från mitt skrivbord har svårt att ange dess praktik. Läsarna av detta alster har säkert ideer!

Jag vill i sammanhanget påminna om de nedlagda seminarierna i halvklass. Det kan vara opportunt att återuppliva dem, eftersom träning i muntlig framställning efterlyses. Min egen erfarenhet, från våren 92, är att de betydde mycket för att skapa god kontakt mellan undervisare och studenter.

Åtminstone i Analys A kan man nog utan större risk ta, säg 8 ordinarie lektioner, och göra om till 2*4 halvgruppsseminarier. Man kan diskutera detta som ett obligatorium (inom examinationens ram) eller ge bonus. Eller nåt.

Mitt tredje förslag till åtgärd gäller de s k tematerminerna. Jag, och de flesta studenter, förstår dem inte. De är varken teman eller terminer.

Speciellt termin 1 har tidigare varit mycket tung och termin 3 har blivit det mer än någonsin när Analys B gjordes om till B+F och numeriska serier fördes upp ur ettan. Mekaniken fick offra viktiga anknytningar till lineär algebra genom att läggas tidigt.

Att utgå från en form och konskevent försöka tvinga in tillgängligt innehåll i formen verkar bakvänt. Man börjar väl med att formulera problemen och söker därpå lösningar.

Det stora problemet är inte att "lärarna inte samarbetat" ty det har de. De har gjort vad som går, inte mer, inte mindre. Den tjusiga syntesen av Kretsteori och Elektromagnetism existerar helt enkelt inte.

Undanflykter av det citerade slaget för ner diskussionen till en gammal och unken nivå. Det finns åtskilligt ändå av lärarförakt vid UiL och LiTH. Det tycks vara något som skiljer oss från andra högskolor. Ingen, allra minst studenterna, tjänar på det.

Vad "tematerminerna" frambragt är terminer med många kurser av likartad karaktär vilket gjort att höstterminerna blivit väldigt tunga. Det är naturligare, och lättare, med omväxling.

Jag är själv upphov till förslaget om en systemteoretisk tematermin. Den är något helt annat. Jag har ideer om en informatisk och en datalogisk (teoretisk) tematermin. Min utgångspunkt är ingen universalfilosofi. Matematik kräver arbetsro. Speciellt om ekonomin framtvingar minskat studentstöd (det vore väl i första hand Analys B som drabbas) är det viktigt med en lugnare omgivning än nu och att vi inte förvärrar en tung situation genom radikala upptåg. Man kan gott fundera över skälen att D-linjen trots allt har mer än dubbelt så bra resultat som IT i inledande lineär algebra.

Det behövs en genomgripande diskussion av hela kursutbudet och kursernas placering, just nu alldeles för stor för mitt skrivbord. Mikael Stock har många konkreta och intressanta förslag, lyssna på dem.

Till omgivningen hör undervisningsmodellerna i andra kurser. Mitt fjärde förslag gäller denna fråga. Den gamla avskrivningsmodellen (en gång importerad från KTH och CTH) har visat sig leva kvar på ganska många håll. D-linjen är sannolikt den linje där studenterna har lättast att acceptera en mer social lektionsform. Jag kan bara dra slutsatsen att många andra avdelningar saknar både viljan och komptensen att göra upp med slentrianen. Föreläsningsvolymen är också i vissa fall kraftigt överdimensionerad, vilket leder till omfattande repetition. Den tiden kan studenterna använda bättre.

Jag skulle vilja föreslå att man normerar föreläsningsvolymen i alla kurser till 6 timmar per poäng, vilket är standard i matematik och i flera ISY-kurser. Där lektioner av avskrivningsmodell existerar kan de strykas. I labkurser borde lektioner kunna utgå helt, eljes är laborationerna dåliga. Behövs det ens tentor i sådana kurser?

Man bör dock behålla de fiktiva timtalen, 15 timmar per poäng, av diverse taktiska och psykologiska skäl.

Mitt femte, och sista, förslag gäller mottagandet i period noll. Jag minns från slutet av 70-talet en del arrangemang där studenter och undervisare träffades och umgicks kanske innan ens en enda lektion ägt rum. Det betydde mycket för en friare och uppriktigare ton i lektionssalen. Kunde något av detta återupplivas?

Jag avbryter här min uppräkning. Jag tror att dessa förslag stämmer väl överens med rekommendationerna från LiTHs styrelse: att ge matematiken mer ``utrymme'' och att sträva mot samma mål som tidigare. Jag har i mina förslag inte diskuterat t ex prop-, flopp- och grundkurser eftersom det vore oförsynt att föregripa den diskussion som förs i referensgruppen just nu.

Linköping den 16 januari 1999
Peter Hackman

Till tablån