SLUTSATSER

Mål- och problemanalys.

I samband med MIT-projektet efterfrågas målanalys av grundläggande kurser. Tankar om lineär algebra är delvis en sådan analys. Jag har antytt liknande för flera andra kurser. Jag ansåg att detta borde ha varit ett huvudärende för referensgruppen men det kom bort helt.

En genomtänkt mål- och problemanalys (varför nås inte vissa mål?) är viktig för stödet till studenterna. Analysen kan bland annat leda till en produktiv omvärdering av handledningsformerna.

De analysförsök jag känner till baseras på Blooms taxonomi eller någon mer specialiserad (matematikinriktad) variant. Kursernas moment och begrepp tas isär, viktas och klassificeras. Mot detta ställer jag en analys som klargör momentens roll i helheten : mål, ganska få sådana, och vägar till mål. Alla ska nå målen, men kanske inte bearbeta dem lika brett eller djupt. Men ännu mer ska vägarna variera.

För en del måste dessa vara mycket smala. Det gäller t ex M-linjens lineära algebra där rimligen alla ska uppnå driven färdighet, insikt och åskådning om geometriska vektorer och där rimligen även alla ska kunna hantera begreppet egenvektor och förstå dess roll i väl valda tillämpningar. Vägen däremellan ska förmodligen vara smal för flertalet och de studerade vektorrummen kanske bara de mest konkreta.

Detta är ett exempel. Mer vill jag inte säga om vare sig denna eller andra kurser, eftersom jag inte vill föregripa arbetet. Kursledarens (examinators, föreläsarens) kontakt med problemen, och engagemang, är poängen. Det här ska vara ett åliggande för alla som leder nyckelkurser. Studenterna ska se att kurserna ingår i ett levande sammanhang.

Speciellt när kurser står stilla, får dåliga resultat, eller får mycken kritik, ska kursledaren (gammal eller ny) åläggas att utveckla kontakter, analysera problemen och avge en kortare skriftlig rapport om planerade åtgärder.

Hur än målanalyserna ser ut, måste inlärningens kvalitet betonas, så som flertalet tillämpare också gjort. "Kvalitet" betyder inte "hur bra" utan "hur" - hur ska kunskapen se ut, vilken beredskap ska uppövas och vilken sorts kunskap, vilken bredd och vilket djup, är realistisk att nå?

Inriktningen på inlärningens kvalitet är också viktig för kommunikationen med gymnasieskolan. Det har varit för lätt att avfärda kunskapsluckor som föråldrad "utantillkunskap" och "räknedrill". Kan vi tydliggöra vår kvalitativa strävan kan vi också tydliggöra kvalitetsförlusten. Se vidare dokumentet om förkunskapsproblem. Bristande formelkunskap är ofta symptom på en kvalitetsbrist, t ex avsaknad av själva begreppen.

Kritisk gymnasiekontakt. Diagnos.

I dokumentet förkunskapsproblem vittnar åtskilliga studenter om det kvalitativt mycket höga steget från gymnasium till högskola. Med starkare medvetenhet om målen kan vi lättare motivera den övre änden av trappsteget. Det är en viktig uppgift för framtiden att inför våra gymnasiekolleger (och deras överordnade) klargöra även det önskade startläget.

Se gärna det öppna brev som M-sektionens marknadsförare beställde av mig. Seriösa gymnasielärare uppfattar vår kritik som ett stöd.

Min vän Jonas Åvall undervisar på Angeredsgymnasiet i Göteborg. Han har fått besök av tidigare elever (nu teknologer på CTH) som kritiserar skolan för bristande förberedelser inför högskolan.

Deras inställning är att bristerna inte var nödvändiga. Skolan kunde, och borde, ha tagit ut mer av eleverna. Teknologerna hade också åtskilligt att förtälja för sina yngre kamrater, om högskolans krav. - När Jonas säger, det här är viktigt, så är det inte nåt han tycker. Det är så, ni står er slätt utan.

Det är bara ett exempel på den kritiska kontakt jag efterlyser. LiTH kan ta sitt ansvar på många sätt. Det kan ske på ett rikspolitiskt plan genom artiklar i både dagstidningar och fackpress. Det ska givetvis ske i den politiska processen, i skrivelser och remisser. Även detta ska synas utåt. Det är en viktig del av marknadsföringen.

Högskolans lärare måste också ges ett starkare inflytande därvidlag. Vi tar idag smällarna från precis alla håll och av ofta motstridiga orsaker. Ena stunden möter vi inte gymnasieproblemen, nästa stund existerar dessa inte! Det nedan citerade yttrandet ur KTH-nytt försvårar för de undervisare, både inom högskolan och ungdomsskolan, som kämpar med de accelererande problemen. Jag skriver t ex om mina läroböcker minst vartannat år och det är nätt och jämnt att jag hänger med!

Vi bör äntligen tas på större allvar och våra röster bör höras, ofiltrerade, men förstärkta, av officiella kanaler. Det kan behövas ett särskilt uppdrag, kanske som en fortsättning av det här.

Men jag tror också att elevkontakter - spontana i det citerade fallet - kan systematiseras och formaliseras. Man kunde rentav tänka sig något slags mentor- eller fadderverksamhet, där äldre teknologer håller kontakt med gymnasister i Linköping med grannkommuner, samt rentav i grannlänen.

Jag inser att det finns komplikationer. Jag tror likväl att detta är en betydligt mer produktiv verksamhet än mattefadderverksamheten inom högskolan. Den senare tenderar att splittra och störa lärarnas handledning. Bara professionella lärare kan utöva den motståndspedagogik som är så väsentlig när unga, men stelnade, människor ska läras en ny kunskapssyn.

I Umeå har man kommit till samma slutsatser som vi: Gymnasieskolans förfall kan inte i längden accepteras. Anpassning till en tendens, inte ett läge, innebär att tendensen drivs på.

Kritiken från Umeå har delvis större tyngd, eftersom studenterna i utvärderingar hävdat att de diagnostiska proven i Umeå är till fullo relevanta, på intet vis föråldrade.

Nära 30 procent av nybörjarna på civing-utbildningarna kan inte utläsa en funktions nollställen ur en färdig graf. 80 procent kan inte slå ihop två logaritmer till en och förenkla. 65 procent kan inte derivera funktionen xe^x (vilket betyder att de inte kan lagarna). 34 procent kan inte rita sig till hur sinus ändras när man lägger till ett halvt varv. Över hälften tappar bort halva lösningen till x² > 9. En graf skulle avslöja misstaget.

Detta i kontrast till det vårdslösa yttrandet av professor Ingemar Ingemarsson i KTH-nytt 05-00: "Dagens ingenjörsstudenter har inte dåliga förkunskaper i matematik. Svenska studenter klarar sig bra, men inte med gamla mått mätt. Istället har de tillägnat sig matematikkunskaper som verkligen är användbara". Vi har aldrig detekterat denna förnämare kunskap!

Umeproven är monumentala i omfång. Ett lämpligt urval kunde bearbetas och användas här för att förtydliga analysen. Men vi borde också använda proven diagnostiskt, som ett första led i en differentiering av handledningen.

Grundkursen

Sedan hösten 1999 finns en Grundkurs som ska överbrygga klyftan från gymnasiet. Kursen ger 4 poäng och ingen behöver tvivla på att den behövs. Det är utomordentligt laddade poäng. Praktiskt taget allt är nytt; t ex exponential och logaritm (deras egenskaper), trigonometri i godtycklig kvadrant (ofta redan i första), enkla specialfall av binomialteoremet, konjugatregeln, rationella olikheter, hantering av beloppstecken samt enklare analytisk geometri.

Som utomstående tycker jag mig ha sett en del problem, de flesta lätt lösbara. Ett av dem är detsamma som jag iakttagit under grundkursens olika föregångare, proppen och floppen (förlängda proppen). Det elementära stoffet riskerar att föras för långt. Problemen blir då onaturliga.

Efter att ha studerat Ume-proven är jag bara mer övertygad om att åtskilliga studenter behöver träna på en mycket mer grundläggande nivå. Här aktualiseras naturligtvis samma differentieringsbehov som jag berör på många håll i denna rapport.

Kontakt - ett åliggande

Det har framgått på flera håll att kontakterna mellan matematiker och andra är rätt enkelriktade. Initiativen kommer huvudsakligen från oss. Ibland har samtal inte gett så mycket, kanske av de skäl som framskymtar i Matematik hela vägen Då har litteraturen fått vägleda oss istället, liksom den ofta mycket givande kontakten med studenter i högre årskurs. För 15 år sedan kunde mekanikkolleger fråga "varför har ni inte riktningscosiner". Samtidigt kunde också äldre studenter berätta att "vi såg då aldrig till några egenvektorer i Stela Kroppen".

Regelbundna, ömsesidiga, kontakter måste framgent göras till ett åliggande. Det är viktigt att matematiker - på bredden - strävar att förstå sitt ämnes roll. Det är viktigt att studenter ser denna strävan. Det är väsentligt att tillämpare får en klar bild av studenternas startläge och de svårigheter vi har att kämpa med, och faktiskt också kämpar med. Många missförstånd skulle aldrig uppstå om tillämparna orienterade sig om t ex avvikelser i terminologi och uppläggning. Se vidare Jan Lundgrens resonemang.

Även om diskussionen, glädjande nog, dragit alltmer mot det kvalitativa, är det viktigt att förstå vad studenter tål, och att det är mer olika med den saken än någonsin. Rätt många kunde också ha en del att lära av TM:s studentaktiva profil, som är okänd av många (dvs. att vi nedkämpade avskrivningslektioner av gammalt KTH-snitt redan för 20 år sedan). De skulle då kanske ledas att lägga en större del av förkunskapsansvaret på sina studenter.

Jag noterar på flera håll de rätt uppdrivna förväntningar kollegerna har på modelleringskunnandet, och modellkritik, från grundkurserna. Dessa förväntningar är inte så realistiska, givet tiden och startläget. Diskussionen tar dock inte slut med detta konstaterande. Det blir desto angelägnare att klargöra rollfördelningen, samspelet, mellan kurser genom hela utbildningen. Det som inte kan nås ska ändå förberedas. Vi kan hjälpas åt att formulera rimliga delmål så att kunskapssynen bearbetas genom hela utbildningen.

Så kanske grundläggande matematik ger verktygen, medan kurser i optimeringslära, matematisk statistik och fysik tillhandahåller modellerandet. Det är här som diskussionen kring de tre klassiska motsatsparen (lineärt-olineärt, lokalt-globalt, kontinuerligt-diskret) börjar.

Sedan utvecklas detta genom ännu mer tillämpade kurser, t ex Kretsteori, Reglerteknik, ekonomiska ämnen, och mekanisk ingenjörskonst. Här kanske diskussionen om modellernas räckvidd börjar på allvar. Hur långt kommer vi med idealiserade antaganden? Hur hjälper oss de ideala fallen att orientera oss bland mer ingenjörsmässiga komplikationer?

Rollfördelningen kan variera alltefter kursernas inbördes läge i tiden.

Jag tror att blotta existensen av sådana diskussioner bidrar till att öka studenternas intresse. Än viktigare, det kan skärpa deras uppmärksamhet på kursernas verkliga mål, på kunskapens verkliga natur. Det handlar inte om typtal. Det huvudsakliga motivproblemet ligger här, och ingen annanstans.

Jag tror naturligtvis mest på frivillighet, vilket fungerat bra för mig i över 30 år. Men det kan också behövas sammandragningar, seminarier liknande dem som Bengt Winzell höll i Söderköping 1984. En viktig effekt skulle vara den, som denna undersökning än så länge inte uppnått, nämligen att tillämparna får syn på varandra.

Det är oerhört viktigt. Det skulle göra det lättare för alla att se vilka önskemål som är alltför speciella. Det kanske också för alla parter skulle klargöra en viktig, och försummad, roll för matematiken, nämligen att etablera paralleller och analogier, tvärkopplingar mellan olika specialiteter. Detta kunde leda till effektivisering. Måste stabilitet och diskreta fouriertransformer behandlas tre gånger, varje gång som en nyhet?

Då kanske också matematikens viktigaste roll för den egna specialiteten blir synlig: att ekonomisera, dra samman och skapa koherens (göra få idéer av många fakta). Märkligt nog har knappt någon av de många tillfrågade framhållit detta. I en delundersökning om högskoleingenjörer citeras en avnämare som inte anser sig ha tid att anknyta till matematiken!

Till åliggandena måste också höra att önskvärda förkunskaper preciseras. Det räcker inte att ange "analys och lineär algebra", ty ingen sätter sig och repeterar en hel kurs. Anger man kärnmoment ökar chansen att studenter repeterar dessa, i sammanhanget, och därpå fyller på med den bakgrund de tappat eller försummat. Detta måste vara studenternas eget ansvar. Att repetera i deras ställe är dels demoraliserande för grundkurserna, dels direkt förvirrande.

Men det måste också vara tillämparnas ansvar att matematiken kommer till användning. I dokumentet Matematik hela vägen framkommer att den lineära algebran ofta inte används på ett tillräckligt belysande och ekonomiserande sätt. Det är ett svek, ty inlärningen i detta ämne kostar åtskilligt, för alla parter, och är ett viktigt startsteg i en djupgående mognadsprocess som inte bara tvärt får avbrytas. Man måste inse att de politiska kraven på genomströmning kan leda till att den viktiga mognadsprocessen hos långtifrån alla studenter avslutats, utan måste få en fortsättning.

Därvid får man inte heller glömma att den första tillämpningen av lineär algebra i regel är matematisk, nämligen Analys B, en kurs i starkt behov av förnyelse.

I likhet med en tillfrågad student, Åsa Wiklund, förargas jag över kolleger som repeterar och klagar att de måste. I kursen Vektoranalys brukade jag vara noga med att ange förkunskaperna, och lika noga med att ta dessa på allvar. Ingen, faktiskt ingen, student klagade på detta, under dessa 17 år.

Föreläsare som repeterar, både förkunskaper och kursstoff, har för mycket föreläsningstid.

Större kurser?

Diskussionerna för 15 år sedan var utpräglat kvantitativa. Dels kunde studenterna varken det ena eller det andra (det kunde gälla pyttesmå detaljer eller bara avvikande namn på dem), dels borde kurserna göras mycket större, tydligen utan hänsyn till studenternas kapacitet, ämnenas litteraturtäckning, eller deras inre sammanhang.

Av sådant har mycket litet har framkommit denna gång. Det är inte heller vare sig realistiskt eller aktuellt att, med oförändrad tid och poäng, tränga in mer stoff, som ändå glöms (om studenterna ens hinner med det).

Det kan rentav vara aktuellt med strykningar. Jag menar då inte de stympningar intill meningslöshet som en del verkar förespråka. Jag har under första punkten ovan antytt vari sådana strykningar kan bestå. Liknande diskussioner finns också i Tankar om lineär algebra.

Viktigare ändå är en uppdriven individualisering av målen, och vägarna dit. Åtskilliga kan lära sig mer än vad flertalet gör idag. Åtskilliga skulle lära sig mer om de koncentrerade sig på mindre.

Förenklat kan man uttrycka saken så här. Man kan behöva stryka på längden (skapa smalare vägar), men inte på tvären (göra halt innan några egentliga mål uppnåtts). Poängtalen (och därmed tillgänglig tid) måste också behållas om rimligt antal ska nå rimliga mål.

Nya kurser?

Egentligen har inga nya kurser efterlysts. Snarare har enstaka avnämare ifrågasatt kurser, t ex transformteori (men ännu fler vill ha kvar detta självständiga inslag). Obligatoriernas fördelning har däremot diskuterats. Borde inte alla Y-studenter läsa ordinära och partiella differentialekvationer och behöver verkligen alla Y-studenter läsa Komplex Analys? Enligt min mening kan valfriheten bara få bli större.

Den största bristen gäller antagligen geometrin. Vissa specialiteter (robotteknik, grafik, bilder) kräver omfattande förberedelser i projektiv geometri. Från fysikhållet förekommer emellanåt önskemål om differentialgeometri både klassisk sådan (kurvor och ytor i euklidiska rum) och mångfalder med eller utan metrik. Jfr också Erik Skarmans bidrag till Röster från Verkligheten.

Vartårskurser är dock knappast realistiska.

Ändrade kurser?

Det mesta som framkommit beträffande kurserna i Analys A och Lineär Algebra torde gå in under normal kursutveckling. Målen i den första kursen är äntligen på väg att förskjutas, i den mån studenterna hänger med. Länk om detta.. Exempelsamlingarna behöver då kompletteras och omarbetas.

I YD-s lineära algebra har en sådan levande utveckling förelegat åtminstone under de senaste 23 åren.

De båda essäerna om lineär algebra, "Tankar om lineär algebra" och delrapporten inom denna utredning, visar på behovet av utveckling även för M- och I-linjens del. M-linjen har från våren 2001 en ny examinator. Han bör kraftfullt uppmanas att under sitt första år hålla kontakter med fr a Mekanik, men även Hållfasthetslära, för att få impulser till utveckling.

Med tanke på Anders Klarbrings fundamentala och klarsynta kritik måste första åtgärden bli att gå över till svensk, geometriskt orienterad, litteratur.

Att jag själv inte är belåten med Analys B är ett klickbart faktum. Avnämarna har haft märkligt lite att säga om detta, jfr dock optimerarnas syn. Uppenbart är att den i all modellering viktiga dikotomin lineärt-olineärt motiverar en rejäl utvidgning av differentialkalkylen och en kraftig uppfräschning av övningsrepertoiren. Möjligen kan datoriserade uppgifter behövas.

Helt allmänt tenderar matematikuppgifter att förutsätta att teorin är en gång för alla förstådd och nu ska tillämpas. Då finns förståelsen hos någon annan. Studenten leds raskt att försöka tillämpa förfaranden, om vilkas innebörd han är endast vagt medveten.

En annan tendens är att enkla förfaranden kryddas med tekniska och logiska komplikationer som förvrider perspektivet. T ex lagrange-problem ska (och är på väg att) ses som övning i differentialkalkyl i största allmänhet. Själva räkneförfarandena har ytterst lite med verkligheten att göra.

När vi lägger märke till den kraftiga skillnaden i resultat mellan D och M, och M-kursledarens skepsis mot den utveckling jag föreslår, frågar jag om verkligen alla program ska läsa samma Analys B. Teknisk Biologi har redan profilerat sig, men dumt: serier har utgått men behövs precis lika mycket där som på andra program.

Ytterligare ett skäl att fundera på saken är att Y- och M-linjen, men inte D, läser vektoranalys, där kedjeregeln, fältlinjer och nivåytor rimligen får en mycket levande innebörd för studenterna. D-studenter, som nu äntligen kommer att läsa mekanik och elektromagnetism efter Analys B, skulle vara klart betjänta av åtminstone en liten dos linjeintegraler, potentialer och konservativa fält. Allt detta finns väl förberett i kurslitteraturen. En sådan omvinkling av D-linjens kurs skulle sannolikt leda till förbättrade resultat.

En ändring som är hett begärd av D-studenter är att kurserna i logik och diskret matematik tas isär. Uppenbarligen spills mycken tid på praktiskt strul utan att några egentliga "integrations"vinster uppnås. Syntesen av successivt förvärvad kunskap är alltid studenternas sak och kan aldrig förprogrammeras.

Diskreta matten har skadats, dels av den administrativa kopplingen till logiken, dels av ett programmeringsprojekt som kulminerar under kursens andra hälft, i period fyra. Resultaten skulle bli avsevärt bättre om kursen koncentrerades till period 3. Med logiken i period 4 skulle IDA få ta fulla ansvaret för konkurrensen mellan teoretiska ämnen och programmeringskurser, vilket vore nyttigt.

Jag har på flera håll argumenterat för ändrad organisation av lineära algebran på M och I. Frånvaron av föreläsningar lett till ett snuttifierat utpytsande som strider mot all högskolemässighet. Kanske 30 minuter i början av en dubbeltimme, 15 minuter i slutet. Därmed omintetgöres både överblick och valfrihet.

En annan punkt gäller kontrollskrivningar i lineär algebra. Delprov på 5-poängskurser! (I-linjens kurs är inte ens det). Arrangemanget strider helt mot kraven på ökat ansvar för studenterna. Argumentet om "återkoppling" håller inte; det viktiga är kontinuerlig återkoppling genom grupphandledningen. Mer stöd, mindre kontroll.

En ändring, som jag tror behövs, gäller "tillämpnings"inslaget i D-linjens lineära algebra, TATA08. Studenterna bör förses med någon meningsfull större uppgift, en enda. De bör läsa in sig själva på projektet. Antalet föreläsningar på denna del bör halveras, till normala sex timmar på den enda poängen. Ordinarie kursledare måste ges bättre inblick och kontroll. En samordning med "Perspektiv på datateknik" kanske också skulle gagna projektet och spara tid.

Tillsist tror jag vissa inslag i Transformteorin behöver diskuteras. Den formella distributionsteorin ställer delikata didaktiska problem, samtidigt som den diskreta fouriertransformen (utmärkt introduktion enligt min mening) inte alls behandlas. Genombrottet för ondeletter (wavelets, krusningar) inom signalbehandling måste få konsekvenser. Detta är, som sagt, endast en invit till vidare diskussion.

Satsa på lärarna!

MIT-projektet innehåller exempel på en smygande strävan att toppstyra pedagogiken och kursernas uppbyggnad. Vi har inget behov av sådana importer. Ledningen måste satsa på den vilja och kreativitet som finns här. De kvalitetsfrågor som diskuteras i denna rapport har engagerat ungefär 100 personer!

Mycket av det som ska föreställa studentaktivitet, från MIT-håll, är ytterst flackt och jippobetonat och påminner om de radikala skillnaderna mellan svensk och amerikansk (undervisnings)kultur. Vi har definitivt kommit längre och har resurser, givet stödet, att gå än längre.

Lika lite som vi har något att lära från USA, i just den frågan, lika lite har vi någon glädje av fackpedagogers och politikers mästrande. Lärare har en unik kunskap, som alla dessa "experter" saknar. Vi vet något om teknologer eftersom vi umgås med dem, dagligen.

Vår undervisning är verkligen överlag ett umgänge. Det är den "studentaktiva profil" som TM trots allt har, och skulle vilja utveckla. Och - detta är viktigt - som aldrig genomdrivits genom diktat, utan uppstått anarkiskt ur vår vardag, våra bekymmer och våra diskussioner. Den har biträtts av ett omfattande arbete med progressivt strukturerade övningssamlingar, en förutsättning för en undervisning som låter studenternas insatser föregå lärarens.

Vi vet speciellt en del om studenternas rädsla och tvivel inför eget hemarbete, och eget ansvar. Mina många försök, de senaste åren, att engagera studenter i ännu bättre handledningsformer - hemarbete hemma, före lektionerna - har misslyckats. Önskvärda förändringar kräver uppenbarligen åtskilligt av takt och psykologi, och stöd.

Det vilar därför ett mycket tungt ansvar på ledarskapet, studierektorer, prefekter, nämndledamöter och LiTH:s styrelse, att stödja och göra stödet tydligt. Jag tror alla inblandade bör studera mitt förslag till hederskodex för universitetslärare. Det är många fler än jag, inom TM, som vill fungera så.

Utvecklingsvilja och mod måste premieras. Anonyma kursvärderingar mäter popularitet, men på ett försåtligt sätt (t ex får det inte synas alltför tydligt att föreläsningar är populära).

Jag har i flera år utvärderat mina frivilliga kurser helt på mina villkor. Inga graderade alternativ, ingen anonymitet. Deltagandet är minst lika stort som på de tidigare anonyma kryssblanketterna, dvs. 70-80 procent. Frågorna var de jag ville få svar på och jag fick användbara svar. Sådant ska uppmuntras och studenterna uppskattar det.

Den utvärdering som därutöver behövs måste ta betydligt större grepp. Tyckanden måste stå tillbaka för frågor om sammanhang, relevans och mål. Sådana utvärderingar behöver inte göras varje år. Görs de, säg, vart tredje år, tas de säkert på större allvar.

Jag talade från början om påbud. Ett påbud, eller hot om sådant, gäller användningen av datorer. Det finns högskolor där man verkligen dikterar att dator"hjälpmedel" ska användas i alla kurser. Sådant leder ansträngningen och uppmärksamheten bort från de verkliga problemen - lösningen kommer först, problemen anpassas till dem.

Som framgår av dokumentet Elektroniska hjälpmedel finns en utbredd skepsis mot datorer som läromedel, bland våra avnämare. Datorerna blir viktiga först efterhand. De, och andra elektroniska "hjälpmedel", tränar på nybörjarnivå varken språk eller modelltänkande. Visualisering? Kanske, men den egna leken och experimentlustan är isåfall avgörande. Jfr Håkan Erikssons erfarenheter.

Mest realistiskt är att datorer kommer in när man verkligen kan något, genom enkla övningar och figurer fått en viss insikt om begreppen och deras enkelhet - som tar tid att inse. Då kan man också skala upp dem i högre dimensioner och numerisk komplexitet. Det naturliga området finns inom lineär algebra, låt vara rätt sent i kursen. Jag har även nämnt flervariabelanalys.

Fria lärare kommer att upptäcka sådant. Jag har i mina egna böcker kommit på mig med att skriva "om du har tillgång till matlab". Sådant kommer spontant, som katten, och kan inte forceras eller påbjudas. De vämjeliga och lögnaktiga material som hittills givits ut (där man ska observera de samband och fenomen som programmen bygger på!) visar vart forceringen leder - bort från problemen och målen.

Lita på lärarna. Satsa på dem, som är värda att satsa på, med resurser, prestige och angenämare arbetsvillkor.

Språklig förmåga

Den språkliga förmågan är dels passiv, dels aktiv. Det ena betingar det andra. Den som tränas att uttrycka sig väl och otvetydigt i tal och skrift får också automatiskt träning att läsa. T ex Torbjörn Kronander och Peter Hultman betonar vikten av att kunna ta fram det väsentliga ur en text. Att presentera en lösning på begränsat tavelutrymme kan ge motsvarande aktiva träning.

Tyvärr övergavs modellen med "student-vid-tavla" för c:a 5 år sedan. Det blev för mycket avskrivning. Den hade då huvudsakligen tillämpats på Y- och D-linjen. Försöket, på 70-talet, att avskaffa föreläsningar i vissa kurser, och därmed skapa aktiv dialog och lästräning, ledde till raka motsatsen. Föreläsningar måste således finnas, i nuvarande utsträckning, för att begränsa föreläsandet.

En fruktbar lösning, som jag med framgång tillämpade i Y-linjens lineära algebra i tre år, var att välja ut särskilt föreläsningsvärda ämnen och uppehålla mig desto mer vid dem. "Lite mer om lite mindre". På det viset blev studenterna tidigt hänvisade till litteraturen. Jag uteslöt förvisso relativt elementärt stoff i början, men det var tungt nog för de ovana.

Flertalet förberedde sig inför föreläsningarna, vilket behövs om man ska hänga med. Vanligt var att man avsatte en begränsad tid, 15-20 minuter, vilket närmast framtvingade en mer övergripande läsart.

Beträffande den muntliga presentationen har jag redan på annan plats pläderat för seminarieformens återinförande i mindre skala, dvs. vid ett litet fåtal speciella tillfällen, kanske rentav obligatoriska (dvs. som en del av examinationen).

Sparsamheten leder enligt min erfarenhet från D-linjen (1992) till en satsning, en vilja att en gång för alla sammanfatta och utreda det hittills genomgångna. Faktum är att en stor del av de uppgifter studenterna behöver lösa inte alls lämpar sig för diskussion vid tavlan. Koncentrationen på ett fåtal tillfällen, och ett strängt urval av uppgifter, gör förmodligen en sådan satsning meningsfull och trovärdig.

När det gäller skriftliga redovisningar tror jag den bästa varianten är något tillämpningsprojekt i anslutning till den lineära algebran, vilket diskuterats tidigare. Eftersom det handlar om tre olika kurser på civingutbildningarna har kursledarna desto större frihet att vinkla projekten mot linjetypiska tillämpningar. Alltså skulle lämpligen Analysen stå för den muntliga träningen.

Matematikens miljö och läge

I bland annat en M-utvärdering propageras för spridning av grundkursena i matematik över längre tid. Då skulle "tekniska ämnen" kunna komma in tidigare, och studenterna bli mer motiverade.

Detta var kanske ett gångbart argument på den tid nästan alla teknologer faktiskt var motiverade för en teknisk utbildning. Men vi har inte längre studenter som svetsat, lött eller mekat med bilar. Teknologer är i allmänhet inte speciellt motiverade för teknik!

Det vore kanske också gångbart om matematikens miljö såg annorlunda ut.

Resultatet av uppskjutningar av Analys B på M, IT och D, är verkligen inte uppmuntrande. Skälen är många. Miljön i högre årskurs är mycket oroligare. Studenterna har också kommit i kontakt med andra undervisningsparadigm än TM:s.

Egen aktivitet betyder i regel mycket mindre inom andra kurser, där uppgifterna ofta börjar direkt på tentamensnivå. Dessa kurser har också en förfärande mängd föreläsningar. Jag föreslår att föreläsningsvolymen i alla matematiska, naturvetenskapliga och liknande kurser på civing- och ing-programmen normeras till 6 timmar per poäng. Man hamnar då på ungefär en föreläsning om dagen. En sådan koncentration är bättre hjälp för textstudier.

En återgång är kanske inte aktuell. T ex D-linjen har redan, genom Diskret Matematik, åtskilligt av matematik i ettan (såvitt inte diskmatten kan flyttas uppåt istället).

Vidare har äntligen de tunga tekniska och naturvetenskapliga kurser (fortfarande på D), som löpte parallellt med Analys B, flyttats framåt i tiden. Lyckades dessa kurser (senast Mekanik och Kretsteori) stjäla uppmärksamhet från Analys B, hindrade inte det att resultaten blev signifikant sämre än i matematiken. Det återstår att se om det nya arrangemanget blir bättre, med redovisningstunga IDA-kurser parallellt.

Om 80-90 D-studenter klarar en förstatenta i Analys A eller Lineär Algebra, och 100 inom loppet av tre försök, är ett förstaresultat på 54 godkända (drygt 60 procent av de skrivande) i Analys B, fullkomligt oacceptabelt.

Eftersom IDA-kurser redan nämnts som inslag i miljön, nämner jag ännu en sak som nämnderna måste bevaka bättre framgent. Dessa kurser tycks vara de enda där anspråken på studenterna, och kursinnehållet, stadigt sväller. PUM är ett nyligen av många citerat exempel. Hänsynen till annan verksamhet verkar i vissa fall obefintlig.

Högskoleingenjörernas matematik

Diskussionen visar på oklara mål. Matematiken verkar inte följas upp. Allt finns under särskild rubrik.

D-linjen - ett identitetsproblem

D-linjen har på några få år ökat antalet platser från 90 till 150. Endast kraftfulla invändningar från studenthåll motverkade en ytterligare expansion. Av de 150 som började hösten 2000 finns kanske (högt räknat) 120 kvar. Flera av avhopparna skulle kanske trivts bättre från början på andra program, eller på de många IT-gymnasier som leder direkt ut i yrkeslivet.

Frågan om D-linjens identitet, som civingutbildning, bland ett myller av datautbildningar, uppstår naturligt. Linjens skapare, Per-Erik Danielsson säger bland annat

"1975 när D-linjen startade var jag nog ganska medveten om att det fanns ett inbyggt problem med den traditionella matteundervisningens relevans för hårdvaru-och mjukvarukurserna. Men jag föreställde mig knappast då att arbetsmarknaden för programvarutekniker skulle kunna få de enorma proportioner som den har idag.

Annnorlunda uttryckt: Vi kunde inte ana att datorerna, ehuru deterministiska, skulle kunna utvecklas till att bli de superkomplexa system av interagerande enheter med hierarkier av minnen, processer, program, kommunikationsprotokoll, etc. Och därför kunde vi inte heller ana att en stor del av D-civilingenjörerna skulle komma att välja att helt låta sig uppslukas av denna konstgjorda värld på ett sätt som nu är vanligt. Vi trodde att de huvudsakligen skulle vara verksamma i gränssnitten till 'verklig' högteknologi, 'Robotteknik, signalbehandling, reglerteknik, bilder' (han citerar här mig, pH) och varför inte också medicinsk teknik, materialteknik, kemiska processer, läkemedel, forskning... "

Ett värdefullt bidrag rörande hela dataområdet kommer från Torbjörn Kronander, Sectra:

"Följande uppdelning vore för mig det ideala:

Linje 1 (Skall ge duktiga programmerare):

3 år, väldigt lite analys (endast basala grejor, ingen flervariabel) och sen en normalkurs (civing) i Linjär algebra. Denna skall dock inte fuskas bort, normala krav gäller. That's it, det räcker som matteutbildning här. Sedan praktiska kurser, lite gruppdynamik, arkitekturer, datakurser, lite linjära system (mekanik + reglerteknik i en kurs). I stort sett ingen fysik alls. Inriktningar de sista två åren, styrda i block med tydliga sekvenser av kurser (ingen får komma på en kurs utan erforderliga förkunskaper), allt ifrån kognitionsvetenskap till ekonomisystem till industriella processer.

Linje 2 (Djupare mjukvaruutbildning, fortfarande kapabla att programmera)

Erhålls enklast genom att slå samman C och IT. Rätt mycket matte, inte för mattens skulle utan för tänkets. Mycket logik. Stor koncentration på arkitekturer, stora system. Förståelse för matematiska system som t.ex. Linjära dito (även här mekanik och reglerteknik sammanslagna men i en större kurs). Sannolikhetsteori, statistik etc. En översiktskurs i fysik. En del psykologi. En kurs i filosofi (logik, argumentationsanalys etc). Uppdelas i inriktningar på slutet (ganska vida, men inbördes rätt hårt styrda sekvenser av kurser). En av dessa riktas mot administrativa området (t.ex. ekonomi) en del mot medicin, en mot industriella processer, en mot signalbehandling (skilj inte på en och flera dimensioner längre), en mot telekommunikation och nätverk, en mot logistikprocesser och flödesstyrning (simulering, optimering mm) etc.

Linje 3 (Djup och bred datorteknik)

Både mjuk- och hårdvara. Stor överblick. Detta är D-linjen. Omfattande matte, Y-matten inklusive Funken (Komplex Analys) men strunta i vektoranalysen. Mindre fysik än Y, mer av mjukvara. Stor kurs i systemarkitektur. Mellanstor kurs i gruppdynamik och psykologi. Stor kurs i linjära system med tillämpningar. Mycket sannolikhetsteori, obligatorisk överkurs i linjär algebra. Inriktningar i styrda block. Liknande inriktningsområden som Linje 2, men mer systemteori, lite mer hårdvara.

Linje 4 (hårdvaru- och system-ingenjörer med djupare datakunskaper)

Y'are. Utförs som styrd inriktning (block av kurser) i högre åk på Y."

Matnat - ett identitetsproblem

En historiskt orienterad diskussion ges under annan rubrik. Rimligt uppdrag: att utbildningsnämnden bearbetar följande frågor, ställda i brev av mig i september 00:

"Å ena sidan - vad skiljer en teknisk matnat från den tidigare filosofiska? Har synen på matematikens roll förändrats, eller synen på matematiken som ämne i sig; t ex stringens och grundvalsfrågor? Vilket betydelse har det att vissa kurser samläses med blivande lärare?

Å andra sidan - vad skiljer, eller bör skilja, matnats matematik från matematiken inom civilingenjörsutbildningarna, utöver den tillgängliga tiden för hemarbete?

Vidare vill jag veta om det finns några tankar om framtida yrkeskarriärer för utexaminerade matnatare. Kan en matnatare överta (civil)ingenjörers uppgifter eller delar av dessa? Finns det en (ideal eller reell) matnatkompetens som den genomsnittlige (civil)ingenjören saknar? Eller är de önskade kompetenserna inte ens jämförbara?

Det vore här värdefullt med konkreta exempel på matnat-typiska yrkesområden eller individuella karriärer där en matnatkompetens visat sig särskilt värdefull. Utbildningsnämnden kanske har undersökt vad det blir av studenter efter examen, ungefär som skett vid UNY och en del andra nämnder.

Till sist skulle jag vilja veta hur svaren på dessa frågor förhåller sig till den bild som ges genom marknadsföring och/eller officiella måldokument."

Kunskapssynen.

Många studenter har en deformerad kunskapssyn. De är i regel vana att matematik ska sakna både sammanhang och mening. De är också vana vid att varje situation ska vara förberedd för 15 minuter sedan.

Därför begärs emellanåt "fler typtal så vi vet vad det handlar om", givetvis demonstrerade av läraren. Då slipper man reflektera och våndan att lösa enklare uppgifter (som sällan är lätta) kan skjutas upp, avsevärd tid. Mycket vill ha mer. Lärare som trampat i fällan trampar strax djupare och kommer inte ur.

Naturligtvis handlar det inte alls om typtal. Möjligen finns missförståndet att dessa är en begränsad uppsättning rätt stereotypa färdigheter, bättre än ingenting. Men i själva verket innebär typuppgiftsinlärning endast beredskap för en begränsad uppsättning formuleringar. Formuleras inte ett bivillkorsproblem på ett standardiserat sätt får vi strax ett överflöd av lösningar där den ena (konstanta) bivillkorsfunktionen ska optimeras med avseende på den andra, dvs. rent nonsens.

Det är inte självklart lätt att möta denna förvirrade kunskapssyn. Får studenter inte som de är vana röstar de med fötterna. Det hjälper inte ens säkert om lärarna sluter upp solidariskt kring en sund kunskapssyn, ty då byter studenterna inte ens grupp, de försvinner bara. De flesta kan - tyvärr - inte hantera denna frihet.

Sannolikt är det därför obligatorier uppstår lite varstans. Sådant ska LiTH inte syssla med, annat än i begränsad utsträckning. Kanske D-linjens demonstrationsseminarier, c:a 4 per termin, bör återupplivas. Vidare bör man diskutera försiktiga modelleringsinslag, i ex.vis Lineär Algebra. Inte för att "motivera" studenterna, inte för att något blir lättare, utan endast för att ge en vink om hur den önskade kunskapen egentligen ser ut.

Det är också viktigt att övningsmaterialen förses med fler lätta ingångar. När en student kör fast, ska han inte ha en lösning, utan ett enklare problem. Skickliga lärare kan improvisera sådant, men bättre ändå är om det finns i samlingarna. Det är också viktigt att redan de första övningarna kräver något av reflektion, att förutsättningarna värderas, figurer ritas, osv. Sannolikt kan modelleringsinslag liknande de nämnda påskynda utvecklingen av övningsmaterialen i övrigt.

Givetvis hänger detta, som allt annat, på tydligt stöd och visionär ledning. Vidare måste lärare äntligen få betalt för detta slags arbete.

Behovsgruppering. Det explicita uppdraget.

Retoriken kring ex.vis Nying-projektet är att allt blivit annorlunda. Vi vänder oss till "nya grupper", inte längre en elit med specialintressen. Bevisar det att dessa specialintressen i ett slag blivit ointressanta? Märkligt nog diskuterar man sällan det faktum att studenterna är mer olika än någonsin. Än mindre drar man förstås de praktiska slutsatserna.

Varför finns lektionsprogram, gemensamma för alla? Varför 30-grupper? Varför salar med tavlor? Varför så lite hemarbete? Studenter är ofta tre lektioner efter inom loppet av en vecka. "Svaga" (ofta egentligen oföretagsamma) studenter stöts bort när läraren inväntar deras aktivitet. Samtidigt försvinner duktiga studenter, som inte heller de förstått sin roll. Tidigare var det denna kategori som drev verksamheten.

Jag har präglat uttrycket "behovsgruppering", som ersättning för "nivågruppering". "Olika" låter bättre än "olika bra", speciellt som studenter verkligen vill olika.

Jag tror man kommer långt med att uppmuntra spontan och frivillig indelning i mindre grupper, där lärarens insats inte stannar vid att rätta räknefel, eller korrigera elementära missförstånd. Många behöver mer aktiv studiehjälp, t ex den att hitta individuella vägar genom litteraturen. Alla ska inte läsa allt, och inte i given ordning. Det är en insikt som kan verka befriande.

MIT-projektets förslag om "muddy points" hör naturligt hemma i detta slags handledning. Studenterna förutsätts i mindre grupper lösa uppståndna problem så långt de mäktar, för att kunna ställa desto mer exakta frågor i lektionssalen.

Många "experter" pläderar för tvångsvis sammansatta grupper, för att undvika koncentration av elitgrupper. "I industrin väljer man inte själv sina medarbetare". Det är där, det. Det finns inget som säger att man förbereder yrkeslivet bäst genom att på rätt godtyckliga och begränsade sätt härma det (lön? reglerad arbetstid?) Jfr Hans Åkermarks resonemang. Utbildningen måste tolerera lek och frihet; det är här man kan göra de stora och lärorika felen, och göra de lika lärorika krumsprången. Ute i verkligheten finns inte längre tiden.

Beträffande gruppernas sammansättning kan det räcka att peka på studenternas egna önskemål. Åsa Wiklund, Y: "De flesta har börjat studera med andra som ligger på samma nivå som en själv. Det gäller mig med, jag pluggar uteslutande med folk jag känner är på min egen nivå... då blir det ett naturligt tagande och givande av kunskap istället för att blir mest tagande eller givande."

Intimt förbunden med denna diskussion är den om Det Explicita Uppdraget.

I ett brev till LiTH:s styrelse tog jag för något år sedan upp den väsentliga roll som matematiken har att lära studenter studera. Kurserna kommer tidigt, de är stora, de innebär ofta en kvalitativ, snarare än kvantitativ, utveckling, och vi har en starkt studentaktiv tradition på TM.

Man borde formulera uppdraget att TM ska lära ut, inte bara integraler och egenvektorer, utan också själva studieförmågan, händigheten med böcker, vidsyn och kringsyn i umgänget med nya begrepp, osv. Detta skulle motivera en omfördelning av resurser, uppifrån och ned i årskursena, men också mellan kurserna. Är stödet i ettan rätt ska egentligen inte lektioner behövas alls i högre årskurs!

När förslaget togs upp i styrelsen kom invändningarna att studenter läser mer än matematik i ettan, borde inte t ex fysiker och mekanikundervisare ges en liknande roll? Svaret är rätt enkelt: det är från TM förslaget kommer. Det är hos TM viljan och traditionen finns, t ex den redan nämnda progressiva uppläggningen av övningsmaterialet. Det är också i grundläggande matematikkurser som lektioner är den dominerande undervisningsformen.

Jag menar att styrelsen bör diskutera mitt förslag på nytt. Man behöver inte, och bör inte, börja i grandios skala. Naturligast är att börja på Y- och D-linjen.

Examination

En del populära myter punkteras i dokumentet med samma rubrik. Speciellt gäller det den "alternativa examinationens" välgörande verkan. Överhuvudtaget menar jag att examinationen spelat för stor roll i de allmänna diskussionerna de senaste åren. Retoriken går i kors. Är det rimligt att satsa en ökande andel av de tynande resurserna på kontroll när de grundläggande pedagogiska frågorna, t ex övningsmaterialens utformning, och handledningens effektivitet, pockar på uppmärksamhet. Det stora arbete som behöver utföras, kanske mest i Analys, är ett långsiktigt och tålamodsprövande tankearbete. Sådant får inte plats om lärarna ska belastas med kortsiktiga rutinuppgifter.

En detalj, som många uppmärksammat, är tentornas karaktär av stickprov. I över 30 år har mattetentorna haft 7 uppgifter, av vilka 3 ska klaras för godkänt. Det är oklart vilka tre och vad dessa ska handla om. Det är i själva verket givet att detta varierar. På andra högskolor kan man ofta av uppgiftens nummer sluta sig till dess innehåll, eller rättare, till de förfaranden som efterfrågas. Vad det gör för typuppgiftstänkandet är lätt att föreställa sig.

Samtidigt kan man fråga sig om högre krav på antalet lösta uppgifter, men med aningen enklare sådana, skulle tydliggöra kursens huvudmål och linjer. Jag erbjuder ingen bestämd slutsats, men anser att denna diskussion bör föras. Det som funnits i 30 år är inte garanterat rätt.

Marknadsför LiTH!

Jag har uppfattat detta uppdrag som en kraftfull markering: matematik är fortfarande viktigt. Från försämrade förutsättningar ska målen, helst förbättrade, fortfarande nås. Genom denna strävan ska också gymnasiets brister förtydligas och åtgöras.

Detta måste göras känt! LiTH, med dess starka tradition för matematik i grundutbildningen, måste skaffa de studenter vi förtjänar. Tillräckligt spetsad rekrytering har sannolikt (som i 70-talets slut och 80-talets början) en katalyserande verkan.

Jag har ofta stött på föreställningen att en sådan marknadsföring "skrämmer" studenter, alternativt enbart kvinnor. När det gäller kön är de grövsta och billigaste fördomar plötsligt gångbara! Spelar det ingen roll vilka studenter som faktiskt kan uppträda som kvalitetens bärare och rentav utvecklare? Är det inte precis dessa som är önskvärda? Kan vi inte vårda vår profil som andra vårdar sin?

Är frågan om programmens tuffhet en sådan het potatis tror jag lösningen finns ändå. Tala inte så mycket om krav, tala mer om möjligheter. På LiTH kan man fördjupa sig, kankan man ta till sig stabila matematiska grunder för livslångt lärande. Ty som flera påpekar är speciellt de matematiska grunderna svåra att tillägna sig efter avslutad utbildning. Matematikinlärning tar tid, och inte bara mycket tid utan god tid, icke-splittrad tid utan ständiga avbrott för annat.

Y-sektionens värvningsbroschyr tar ett närmast militant grepp på frågan. Här finns föredömen för LiTH, som måste skaffa sig ett mycket starkare inflytande över informationen. Vi som varit med att bygga upp denna utbildning - inte bara lärare utan även hundratals studenter - förtjänar detta.

Åter till tablån