OM "TYPTAL"

Fråga: Varför är det så lite typexempel?

Svar: Mitt svar börjar med en fråga. Vad är typexempel? Vad är det typiska med dem?

Det typiska är väl att de följs av likadana övningar, kanske rentav flera likadana efter varandra med samma lydelse och det givna i samma ordning. Sifferbyten.

Kanske de rentav följs av likadana uppgifter på tentor. Då måste man börja fråga efter mål och mening. Den korrekta synen är att övningar är medel, t ex till eftertanke eller förtrogenhet. Om fyra uppgifter är lika uteblir eftertanken i åtminstone tre. Ansluter de tätt till ett utfört exempel kan eftertanken utebli helt och hållet.

På en Analys-B-tenta i januari 2000 gav vi en uppgift vi trodde var standard, att maximera en enkel funktion ("målfunktionen") under två bivillkor. Men bivillkoren gavs först, med explicita uttryck (de beskrev en cirkel i rymden) och målfunktionen hette inget och hade inget "uttryck" utan var z-koordinaten för en punkt på cirkeln. Den nämndes sist. Och därmed får vi in lösningar på ett helt annat (för övrigt fullkomligt trivialt) problem där målfunktionen inte ens finns med.

Trots lång erfarenhet var jag inte beredd på detta. Ändå känner jag igen fenomenet från tidigare. Man läser inte utan associerar till lösningsmönster där det givna (delar av det) händelsevis kan stoppas in. Det är det typiska typuppgiftstänkandet, det språklösa förhållandet till matematik, något som varje matematiker med kärlek till ämnet och respekt för sina studenter känner sig kallad att bekämpa. Som undervisare eller som läroboksförfattare.

När jag på allvar började arbeta med Y- och D-linjernas kurser 1978 var min första åtgärd att skriva en ny exempelsamling. Denna fick omsider en ko på omslaget och 1982 byggde jag ut samlingen till en bok som ständigt revideras. Jag leddes av min erfarenhet att ställa en del frågor.

T ex, varför glömmer så många vad egenvektorer är så fort de kan ett förfarande för att beräkna dem? Eller, varför blir redan de enklaste sammanhangen ofta rena mystifikationer?

På kompletteringstentor har det hänt att jag börjat med att ge en avbildningsmatris och en vektor med frågan: är detta en egenvektor. Åtminstone förr i tiden började tentanden alltid med att ställa upp sekularekvationen, istället för att utföra den efterfrågade kontrollen.

Jag har frågat: vad är det man gör, egentligen, när man inverterar en matris? Jag har ganska ofta fått svar som "ställer upp siffror med ett streck emellan och gör radoperationer". Inte alltid det jag önskade: "löser de ekvationssystem som framgår direkt ur ekvationen AX = E".

Det handlar inte om hur saker "förklaras". Alla böcker ger definitionerna och exempel på dessa. Krypa-Gå förklarar i pedantisk detalj hur de omnämnda systemen ställs upp och vad man gör med dem. Det är nödvändigt men inte tillräckligt. Det väsentliga är inte vad vi säger till studenter; det viktiga är studentens egen aktivitet och uppmärksamhet.

Uppmärksamheten bestäms av vana. Många är vana vid att varje situation är förberedd för ungefär 15 minuter sedan. Många leds därför att försöka lösa övningar med metoden i det senast givna exemplet. I bästa fall, lyckligtvis i flertalet fall, uppstår då förvirring. Det är bra ty förvirring är första stadiet i en gryende insikt. Lösningen till ett problem finns inte utanför problemet, i ett färdigt lösningspaket. Lösningen börjar med att vi frågar: "vad är detta", inte "hur gör man?".

Lyckligtvis är flertalet unga människor beredda till förändring och uppbrott från vanor. Vi kan påverka. Böcker är en, men bara en, del i sammanhanget. Jag har i åratal försökt konstruera enkla övningar, som är enklare än de ofta konstigt hopskruvade "typuppgifterna". Enklare, men olika, och därför skenbart svårare. Eftertanken kanske är hela lösningen. Man kanske inte ens ska utföra några räkningar! Det är naturligtvis ovant.

I sammanhanget ingår också undervisarna. De bästa intentioner kan förstöras av otåliga undervisare som löser uppgifter på tavlan för att studenterna inte ska köra fast. Robert M Pirsig skriver i sin fantastiska roman "Zen and the Art of Motorcycle Maintenance" att "stuckness is the predecessor to real understanding". Han fortsätter med att beskriva skillnaden mellan självlärda och skolade mekaniker; de senare är beredda på allt, utom en ny situation

Om en uppgift inte motsvaras av ett utfört exempel så är det ett planerat övningsvärde. Vi kan förbereda dig för nya situationer endast genom att ställa dig inför nya situationer.

När Kossan skrevs hade vi inga föreläsningar och jag satsade därför mycket på övningar som skulle öva till resultaten, inte bara på. Jag tror studenterna var mer beredda på detta än lärarna. Jag fick till stor del skrota denna pedagogik ty i det föreläsningsfria genomförandet förelästes det mer än i "konventionella" kurser.

Dagens Kossa är alltså en kompromiss. De reaktioner jag får från studenter antyder att jag lyckats behålla rätt mycket ändå av mina ursprungliga intentioner, och det tydligaste exemplet är uppgiftsserien A3-7.

Jag gör aldrig om mina böcker till typuppgiftskataloger. Då skriver jag ju böcker som redan finns. Då kan vi lika gärna byta.