Geometri

Till det mest eftersatta i matematikutbildningen på alla nivåer hör geometrin. Samtidigt överbetonas det till synes mest framträdande inslaget av geometri, den inledande vektorräkningen i lineär algebra.

Det är en skenbar paradox. Det eviga dribblandet med artificiella problem på linjer och plan handlar inte alls om geometri utan om siffror. Så fort problemen utspelar sig i rymden ges allt med fullkomligt godtyckliga koordinater (som studenter aldrig ska bestämma själva, t ex efter naturligt val av koordinatsystem). Allt blir räkning utan vare sig eftertanke eller åskådning och vektorräkningens båda väsentliga roller försummas: att ge en konkret modell för abstrakta begrepp och att ge vissa verktyg för mekaniken och hållfasthetsläran.

Anders Klarbring, professor i mekanik, skriver: "min personliga uppfattning är att man i matematiken kanske för snabbt sätter likhetstecken mellan geometrisk vektor och taltrippel".

På M-linjens och I-linjens kurser är man mer än snabb, åtminstone i de amerikanska läroböckerna. Vektorer är inget annat än taltrippler. Skalärprodukters linearitet bevisas sist, ur en komponentlag. Vektorprodukter definieras koordinatberoende vilket ställer svåra invariansproblem.

Studenter berörs föga. På M-linjen användes ett tag min bok Krypa-Gå, lineära algebrans tekniska och geometriska grunder parallellt med den amerikanska boken. Min bok är skriven i den svenska geometriserade traditionen. Studenter ansåg i allmänhet att den amerikanska bokens framställning var bättre medan min "krånglade till det".

Den vemodiga sanningen är att studenter låter sig nöja med siffror och regler framför geometrisk åskådning, som inte kan regleras i steg och formler utan kräver lek med begreppen och objekten samt mer av en helhetssyn. Se för övrigt min essä, Pedagogisk filosofi i två bokstäver.

Men självklart måste tillämpningarnas krav gå före undervisarnas och studenternas bekvämlighet.

På YDC-linjerna har vi (t ex jag som författare) försökt motverka tom räkning medels ett rikt uppbåd av plana övningar, vilkas förutsättningar och resultat går att rita.

Blotta svårigheten och långsamheten antyder övningarnas nytta. Studenterna lär sig, åtminstone för stunden, det naturliga i att rita och titta efter; i genuina rymdproblem upptäcker de efter ett tag värdet av modeller ty flertalet har svårigheter att läsa rätt i perspektivfigurer. Grafritande räknedosor, samt gymnasieskolans allmäna otålighet med sådant som tar tid - och som därför borde vara skolans primära uppgift - har säkert bidragit till detta.

Samtidigt har den abstrakta teorin kommit att framställas som något helt väsensskilt från geometrin. Det är fånigt ty det mesta, t ex matrisframställning av lineära avbildningar, basbyten, minsta-kvadratproblem och egenvärden har icke-triviala illustrationer inom den åskådliga geometrin. Även detta har vi, med varierande framgång,försökt verkställa på YDC-linjen. Se i övrigt rapporten Tankar om lineär algebra.

Under de många år (17) jag föreläste Vektoranalys på Y-linjen slog det mig att den kursen, i lineära algebrans förlängning, förstärkte den geometriska föreställningen om vektorer. När man beskriver rörliga basvektorer (i cylindriska eller sfäriska koordinater) påminns man om att de pekar någonvart: "uppåt", "rakt ut", "bort från origo", "österut" eller "söderut".

Omvandlingar mellan olika rörliga baser skedde bäst i plana figurer, i värsta fall i två steg. Detta har definitivt blivit svårare att ta till sig under de senaste åren.

Likväl undrar jag över det stympade vektoranalysinslaget i M-linjens Analys, fk, där krokliniga koordinater blir snudd på överkurs. Kursens andra del handlar om laplacetransformer, vilket ofta blir ett föga utvecklande tabellslående. Kanske M-linjen skulle tjäna på att kurstiden lades helt på en rejäl kurs i vektoranalys?

Ännu ett moment som blir en total meningslöshet om det inte förankras i geometriska föreställningar är optimering under bivillkor. Jag ger här en länk som belyser detta.

Åtminstone en dellösning av de problem jag antytt är en kraftig revision av övningsmaterialet. T ex det sista nämnda problemet tappar allt i åskådning om uppgifterna innehåller komplicerade räkningar eller trixig logik. Det ska inte var trixigare än att undvika division med noll.

Så långt har min diskussion varit kvalitativ, inte kvantitativ. Jag har diskuterat hur saker ska göras, inte vad eller hur mycket.

Det är helt i linje med den allmänna, och glädjande, tendensen på enkätsvaren. Jag avstår från att i detalj diskutera det tydliga behovet av kurser i differentialgeometri och kanske även projektiv geometri (bildbehandling, robotteknik). Sådant kan gå in under en diskussion kring exempelvis överkurser och andra frivilliga kurser. Man kan också diskutera om inte valda delar av differentialgeometrin helt brutalt borde ersätta moment ur flervariabelanalysen på vissa program.

Matnat-kursen NMAC11 Splinefunktioner för datorstödd konstruktion kräver kunskap om kurvor, enhetstangent, krökning, huvudnormal, binormal, alltså differentialgeometri för rymdkurvor.

Någon borde dock ges i uppdrag att gå igenom t ex Alfred Grays bok som leder från kurvor och ytor till mångfalder och inviterar till experiment och visualiseringar i Mathematica. Trist nog verkar den rätt dyr.

Åter till tablån