Förkunskapsproblem

Diskussionen om förkunskapsproblem har hittills, åtminstone på ytan, varit kvantitativ. Studenterna kan för lite, de kan inte det. Men även där borde vi har märkt något. Ta logaritmer och exponentialer. Deras uppgift i livet är att förvandla räknesätt i varandra, växa långsamt och fort, lösa differentialekvationer. När studenterna är vana att slå upp dessa funktioners egenskaper i formelsamlingar vet de inte att dessa funktioner finns, än mindre varför. De kommer inte att känna igen de situationer där logaritmer och exponentialer gör nytta, ty när en formel behövs är det inte den som efterfrågas.

Detta är ett kvalitetsproblem. Det är av lite högre rang än t ex additionslagarna för sinus och cosinus, vilkas mest naturliga bevis kräver vektorer. Allt vore givetvis mycket bättre om studenterna kunde detta. Även de mindre naturliga bevisen är mycket lärorika, dels eftersom bevisen avmystifierar och för kunskapen närmre den lärande, dels eftersom de erinrar om begreppen. "Det är med begrepp man begriper" (Lars Engström).

Men det mest fundamentala är att förstå vad sinus och cosinus är och hur de ser ut. Ser ut gör de bäst på enhetscirkeln, mindre gärna genom sina grafer. Att byta tecken på argumentet, att dra bort eller addera pi, eller pi/2, är inte utantillkunskap utan förståelse, som understöds med enkla figurer. Den väsentliga kvalitetsbristen är att våra studenter är vana att tro något annat. En sådan lucka kan vara svårare att täppa än rena detaljbrister, som den geometriska summan.

Avnämarnas klagomål i högre årskurs - allt är siffror och räkning, dålig beredskap för modellering, dålig begreppsförståelse - är samma som våra i ettan. Det behöver inte betyda att inget hänt, statistiskt sett. Det kanske händer något, men inte färdigt. Det kanske händer med rätt många. Undantagen syns ofta bäst.

Det betyder däremot att vi, glädjande nog, har en samsyn i kvalitetsfrågor. Frågan gäller inte längre namn och detaljer, "varför har ni inte riktningscosiner?". Det betyder också att förberedelserna från gymnasiet kommer i fokus och att det kanske framgent blir lättare att meddela kritiska synpunkter som inte kan avfärdas lika lätt som hittills. Ska det hända mer med nybörjarna ska det ha hänt mer innan.

Följande studentsynpunkter är typiska.

John Wilander, D: "För mig kändes det som om matematiken i grundskolan och på gymnasiet hade en helt annan fokus. Det kändes som om jag [där] trixade med siffror. Matten här är väsensskild från det. Här har jag drabbats av ifrågasättande av resultat, rimlighetsanalys, abstraktioner ... På något sätt känns matematik mer som ett system eller ett språk nu"

Peter Jidesjö och Niklas Ingesson, I: "Det känns som vi [här] fått tillräckligt med kunskaper i matte. Det är problematiskt dock då man kommer hit och man upptäcker att ens gymnasiala kunskaper inte givit den grund man hoppats på. Vi gick båda natur/tekniskt på gymnasiet och dessa utbildningar är båda förberedande för postgymnasiala studier. Det problematiska, för det var jobbigt och problematiskt ibland under analysen och algebran, på LiTH, kom inte för att tempot var högt eller att litteraturen var på engelska. Snarare var det att glappet mellan gymnasiet och högskolan var för stort. Vi tänker framför allt på användandet av miniräknare och avsaknaden av grunder i algebra på gymnasiet".

En punkt som berörs spontant, dvs. utan att jag direkt frågat, är bevisens roll i högskolekurserna.

Hans Johansson, M: "Problemet med TM är dessa härledningar som i många fall förvillar mer än förklarar, detta verkar det som du förstått då du förklarade med exempel i Analys B. Härledningar hör naturligtvis hemma på vårt program men jag tror inte att man genom korvstoppning tar dem till sig, utan man lär sig dem man förstår och resten lär man sig förstå när man behöver dem".

Åsa Wiklund, Y: "Jag tror att ni föreläsare och lektionsassistenter tror att vi får ut mycket mer av ett bevis än vad vi egentligen får. Det skulle vara mycket bättre om föreläsaren försökte exemplifiera satsen, visa vad man kan ha den till, och varför den behövs, än att gå igenom beviset som de flesta ändå inte klarar att följa med på".

Per Johansson, M: "Om du frågat mig precis i början av ettan vad som var svårast med matten, så långt, hade jag helt klart svarat induktionsbevis. Induktion hade ett rykte om sig att vara svårt, komplext och omöjligt. Problemet med induktion, eller för all del, alla sorters bevismetoder, är nog för M-ares del att vi inte använder dem."

Detta är ett förkunskapsproblem. Bevisens roll har ofta missförståtts av båda parter, men på olika sätt. Föreläsare i matematik kan känna sig förpliktade att dra igenom bevis, som huvudsakligen finns i böcker, utan att fundera över om föreläsandet bidrar något. T ex är presentationen på föreläsningar med nödvändighet lineär. Böcker framställer också saker lineärt, men ska inte läsas så.

Väl valda exempel och grafiska illustrationer kan ibland vara en mer övertygande förklaring som lockar till vidare textstudium.

Sådant kan dock missförstås eftersom studenter ofta ser exempel som instruktioner, ordergivning, vare sig exemplen står på tavlor eller i böcker. Här krockar kulturer och vanor. Ur kunskapssynens och inlärningens synvinkel är det viktigt att studenterna ändå förstår stringensens viktigaste roll, som är koherens, att förvandla många fakta till få idéer, och att avmystifiera.

Om studenter inte förstår den geometriska idén bakom minsta-kvadrat-problemet, eller att integralsubstitution är kedjeregeln baklänges, kan de aldrig göra något eget med kunskapen, när inte blotta formuleringen leder tanken (som då upphöra att vara tanke) rätt.

Eftersom stringensens roll med andra ord är att göra kunskapen levande och aktiv så är det viktiga att den omsätts i levande och aktiv inlärning, dvs. genom studentens eget övande. Det deduktiva bör föregås av det induktiva, dvs. genom att räkningar och specialfall leder till produktiva gissningar.

Redan ritandet och tolkandet av figurer är en viktig förmåga som numera undertrycks i gymnasieundervisningen. Riträknarna används slappt och fel på gymnasiet (en del brev från gymnasielärare klargör deras frustration över detta påtvingade "hjälpmedel"). I YDC:s lineära algebra och Analys B förbättras studenternas visualiseringsförmåga åtskilligt, men kanske inte tillräckligt. Startläget är fel.

Vi lyckas sämre med det utredande språket. Att en lösning ska börja med en förklaring, inte med räkningar. Sådant tar åratal att träna. Denna träning måste alltså tillbaka till gymnasienivån. Den universella standardmetoden, "inför beteckningar, teckna villkoren" måste ersätta de många standardförfaranden som oftast missförstås och leder till groteska meningslösheter.

Det är språkträningen, mer än bevisreproduktion och övningar i pilvändning (negation av implikationer), som är den avgörande förberedelsen för högskolans deduktiva syn på matematik.

Åter till tablån