Övrig Analys

Övrig analys är den analys som "verkligen", dvs. på ett synligt sätt, används. Det rör sig främst om Vektoranalys, Komplex Analys, Transformteori och Differentialekvationer (partiella eller ordinära). Emellanåt är det exakt dessa inslag som ifrågasätts i våra kurser, men sällan av studenter. Från andra håll kan det handla om revirstrider. Föreläsare i vissa (men långtifrån de flesta) "tillämpningsämnen" kan propsa på att "integrera" matematiken i sina kurser, dvs. sopa den under mattan för att få mer utrymme för sina egna intressen (eller mer utrymme att spä ut dessa).

Vilka deras intention än är, är ett sådant sopande nästan oundvikligt. Studenter har betydligt mer tålamod med matematiken när den föreläses av matematiker. När D-linjens transformteori lades ner förseddes Kretsteorin med mer tid för att inarbeta de matematiska momenten. Detta inarbetande stannar, enligt studenternas vittnesbörd, huvudsakligen vid en presentation av vissa fakta. Föreläsaren får mer tid till det egna ämnet.

De principiellt viktigaste diskussionerna har alltså gällt Transformteorin. Y-linjens TATM51, leds sedan flera år av Kurt Hansson (se även avsnittet om integration.) Kursen uppstod 1977 ur insikten att transformer fanns utspridda överallt men att ingen existerande tillämpning behandlade alla. Behovet infann sig att genetiskt sammanknyta fourierserier med dito transformer samt laplace och zeta och därmed ge en gemensam bas för tillämpningar inom både fysik och systemteknik. Vidare behövdes distributioner, en teori som formaliserar idén om tids- eller rumsberoende fördelningar (av exempelvis massor, laddningar eller signaler) koncentrerade till exempelvis en enda punkt.

Lite märkligt är då att diskreta fouriertransformer fortfarande behandlas ad hoc i den ena ISY-kursen efter den andra, med varierande formalismer (sällan matriser). I den planerade kursen inom ramen för D-linjens systemtekniska termin är detta inslag tänkt att vara inkörsporten. I min Boken med Kossan På sätts transformen in i sammanhanget av lineär algebra, nämligen diagonalisering av förskjutningsoperatorn. Den bas som diagonaliserar denna operator diagonaliserar alla tidsinvarianta operatorer.

Y-linjens genetiska uppläggning har nu rubbats av att de analytiska transformerna (laplace och zeta) lagts in i TATM57 Komplex Analys, vars kursledare Keijo Hildén inte bidrog till enkäten. Idén (som jag var med om att lansera och som har lärobokstäckning) var att få tidig och relativt elementär omsättning av den komplexa analysen. Transformteorin blir därmed till större delen kurs i fourieranalys, dock inledd av allmänna betraktelser kring konvergens av funktionsserier och parameterintegraler.

I och med dessa förändringar blir transformteorin svårare att ifrågasätta som självständig kurs. Kursen gör något som eljes icke skulle blivit gjort. En helt annan sak är det när transformbehovet begränsar sig till laplacetransformen som då blir ett räknetrick. Anna Hagenblad, reglerteknik, har undervisat M- och TBi-studenter ihop. De förra har övat laplacetransformer, i TATM62 Analys M, fortsättningskurs, de senare inte. Hon ger en kort introduktion. TBi, med avsevärt bättre rekrytering, har snittresultat en enhet högre än M.

I balansens intresse citerar jag TBi-studenten Anna Dahlén: "Den största luckan är dock Laplacetransformerna som tillämpas inom Reglertekniken. Visserligen går föreläsaren där igenom hur man använder transformerna men någon matematisk förklaring till vad transformer är får man inte. När man läser över 30 poäng matte tycker jag att det är rent ut sagt dåligt att inte alla moment som används i tillämpningskurserna gås igenom i de grundläggande mattekurserna"

Ännu ett bidrag i frågan kommer från John Wilander, D-student. "Kretsteori, Signalteori och Reglerteknik tycker jag behöver ett stöd i transformteorin, mest för att inte skapa oro p g a en snabb och oren genomgång i början av nämnda kurser". I Norrköping lade man i början in en kurs i transformteori som förberedelse till TNG15 Signaler och System. Knappt hade kursen börjat (efter ett gediget förarbete av George Bastay) så ville vissa (mot lärar- och studentopinionen) lägga ned kursen och, rätt gissat, "integrera" den med SS. Professor Lennart Ljung, reglerteknik, tillkallades och förkunnade att "transformer kan man lära sig på en halvtimme", vilket enligt citatet ovan inte ens gäller om Laplacetransformen enbart. Transformteorin lades ned. SS har nu blivit en mycket tung kurs och extra resurstimmar har måst läggas in för att stödja studenterna med den matematiska basen.

TATM41, Vektoranalys var min kurs i två perioder om sammanlagt 17 år. LiTH är unikt i att denna kurs ligger på en matematikavdelning. Kursens popularitet har befäst dess ställning. Även på andra håll ligger detta ämne separat, före alla tillämpningar, elektromagnetism och hydrodynamik (i den mån detta läses). Man behöver vara klar med minst 70 procent av kursen innan man har språket för att formulera ett enda påstående och beskriva modellerna i nämnda tillämpningar. Se vidare Peter Müngers svar i fysikundersökningen.

Den mycket stora psykologiska fördelen med dess placering på TM är att matematik framstår som nyttigt och roligt i största allmänhet, dvs. hela matematikämnet gagnas. Vidare innebär arrangemanget helt säkert att kursen anknyts till fler tillämpningar och samtidigt till tidigare matematik, dvs. Analys och Lineär Algebra, jfr geometriavsnittet. Arrangemanget har, på grund av kursens popularitet, aldrig ifrågasatts.

Kursens stora problem är att läroboken, ett KTH-kompendium av en längesedan avliden författare, uppfattas som helt ogenomtränglig. Det är skrivet i den klassiska kompendiestilen, med "bara understrykningarna", dvs. informationstätheten är mycket stor. Kursledaren Vladimir Kozlov är medveten om detta och har funderingar på eget material. Möjligen kan Olle Branders bok övervägas. Jag gjorde själv slut på fyra böcker under min tid som föreläsare, och följde ingen.

I-linjen hade tidigare en märklig "specialkurs", bestående av vektoranalys och laplacetransformer. Eftersom det förra inslaget av någon anledning uppfattades som svårt ersattes kursen av en transformteorikurs som tyvärr inte uppskattades av studenterna. Det blev ur deras synvinkel ett mycket stort gap mellan den tekniktunga teorin och formelmanipulerandet på lektioner.

En liknande kurs, den redan nämnda fortsättningskursen, finns på M-linjen. Med tanke på Anna Hagenblads iakttagelser vore det intressant att se om en ren vektoranalyskurs skulle göra större nytta, se återigen avsnittet om geometri. Tyvärr bidrog inte kursledaren, Tatyana Shaposhnikova, till min undersökning.

Något av problemen med kurser utan föregående matematik sammanfattas av Ragnar Erlandsson, Tillämpad Fysik. Kursen är TFFY19 Fysik, TBi2.

"Elläran som är en stor del av kursen, kräver egentligen grundkunskaper i vektoranalys... (dessa) finns knappast, så exempel och problem väljs så att räkningarna blir enkla. Jag har dock en känsla av att detta leder till att förståelsen för fysiken bli lidande ... pedagogiskt dilemma ... ger man sig på att verkligen bena ut vad som försiggår blir stoffet så pass komplicerat att de flesta ser ut som frågetecken och den knappa tiden rinner iväg".

Även D-linjen läser en kurs i elektromagnetism utan föregående vektoranalys. Kursledaren Magnus Boman bidrog inte till enkäten. Min iakttagelse från sidan (som ansvarig för en parallellt pågående kurs) är att den ad hoc-uppläggning som framtvingats skett till priset av en kraftig överdimensionerad föreläsningstid, 10 timmar per poäng (standard är 6).

Kurser i Ordinära differentialekvationer ges på matnat och M. Vi hänvisar ex.vis Y-linjens studenter till den förra kursen som har ett rätt klassiskt innehåll baserat på Andersson-Böiers' bok.

Stabilitet, lineraisering och matrisexponential aktualiserar lineär algebra, i själva verket utöver grundkurserna. Picards sats hårdexploaterar teorin för funktionsserier. Den senaste föreläsaren, professor Lars-Inge Hedberg, har just gått i pension. M-linjens kurs, TATM59, har likartat innehåll. Kursledaren, professor Lars-Erik Andersson, deltog inte i enkäten. Det som finns att säga om TBI:s modelleringskurs, med både ordinära och partiella inslag, finns under rubriken Teknisk Biologi.

Kurserna i Partiella differentialekvationer har haft en slingrig historia. Från 1970 och några år framåt var kursen obligatorisk i Y2 och handlade då nästan uteslutande om variabelseparation och ortogonalsystem, tillämpade på ett antal ekvationer av klassisk typ. Kort efter transformteorins inrättande hävdes obligatoriet och kursen flyttades till trean, med i stort sett oförändrad inriktning. Under intryck av dåliga examinationsresultat flyttades kursen ytterligare (den är nu en profilkurs) samtidigt som en konkurrerande fysikkurs, TFFY02 Fysikens matematiska metoder inrättades.

Fysikkursen har i flera år letts av Roland Ribberfors som nyss gått i pension. TM:s kurs, TATM58 Partiella differentialekvationer och finita element leds sedan snart 10 år av professor Gunnar Aronsson, den ende av TM:s professorer som bidrog till enkäten. Förkunskapskraven till båda dessa kurser är massiva; utöver grundkurserna även komplex analys, vektoranalys och transformteori.

TM-kursen är även öppen för studenter på matematikerlinjen inom matnat. Förkunskaperna heter annat där, t ex NMAC07 Linjär analys istf. transformteori.

Komplex analys ger bl a kraftfulla verktyg att behandla plana problem (och ibland gissa deras tredimensionella motsvarigheter). "Värdefull, men inte nödvändig" skriver professor Aronsson. Vektoranalysen ger bland annat verktyg för att utreda entydighets- och stabilitetsfrågor. Transformteorin levererar fourierserier och fouriertransformer för studiet av randvärdesproblem. I årets kurs har dock laplacetransformen betonats mer.

TM-kursen är i ständig utveckling, "jag planerar att minska inslaget om klassificering av ekvationer för att istället göra fler demonstrationer på dator Avser att göra det själv". "Jag ändrar kanske 5-10 procent varje år".

Uppenbart är att kursen i denna icke-obligatoriska skepnad har en mycket bredare inriktning än de tidigare kurserna.

Ett ständigt tema i denna undersökning är den enorma klyftan mellan studenternas räknemässiga kunskap och beredskapen att omsätta den i modellering eller åskådning. Gunnar Aronsson:

"En del studenter gillar inte att man drar fram och anknyter till 'gamla' kurser. En del studenter, även teknologer konstigt nog, gillar inte att man anknyter till fysik".

Professor Lars Nielsen, Fordonssystem (ISY), har muntligt meddelat sin misstro mot obligatoriernas fördelning på Y-linjen. Varför de urmodiga "räkneverktygen" i komplex analys och transformteori (sådant sköter ju datorer), hellre obligatorier i ordinära och partiella differentialekvationer.

Ingen på TM tycks instämma i att Komplex Analys och Transformteori är "räknekurser". Förhoppningen är att studenterna ska uppfatta dem, som egentligen all matematik, som organiserande teorier som håller samman tillämpningar och belyser dessas gemensamma struktur och tänkesätt.

Hur en partdiffkurs utan föregående transformkunskaper skulle se ut (givet tidsramen) är svårt att föreställa sig (vilket kan vara ytterligare ett av skälen att transformteorin infördes 1977). Givetvis måste man också alltid fråga vilken kvalitet som är möjlig inom obligatoriska kurser. Gunnar Aronsson påpekar att hans kursinnehåll till viss del betingas av deltagarnas kvalitet, som kan skifta mycket mellan årgångarna.

Åter till tablån