Ett mål som många önskar är SVD. Det vore bra att ha med,
eftersom det anknyter de båda målen till varandra.
SVD löser behändigt minsta-kvadratproblemet och dess
dual (kortaste lösning); det är självt en följd av
spektralsatsen. Tillämpningarna är många.
Vidare sammanknyter SVD (och kusinen polärfaktorisering)
två viktiga avbildningstyper, varandras motsatser.
Argumenten är starka, men tiden sätter stopp.
Alla jag talat med tror att en forcering
mot ett sådant mål innebär att grunderna offras.
Vad kunde strykas? Det skulle (på Y och D)
vara isometrier i tre dimensioner, som dock
är av viss betydelse i mekanik och robotteknik.
Då skulle emellertid en värdefull konkretisering
gå förlorad, vilket kan motverka syftet.
Säker är jag inte på denna punkt. I fortsatta
diskussioner med avnämare bör dock den
frågan alltid ställas: vad ska bort om det
ni föreslår ska med?
Vägar till mål.
Diskussionen av målen har snuddat vid några av kursernas
tidigaste moment. Geometrin är modell för abstrakta
vektorrum och euklidiska rum, därmed för minstakvadratproblemet.
Projektion av linje i plan, samt gemensamma normalen
till två skeva linjer, ger tidig försmak. Det senare
är kanske tydligast; kan vi inte lösa ett system
(skära linjerna) kan vi istället minimera avståndet.
Så kom ekvationssystemen, matrisräkningen med.
Determinanter hör också till de tekniska grunderna.
Dessa moment, eller stadier, måste gå fort
och inte dränkas i skymmande komplikationer.
Kufiska problem på linjer och plan kan till
stor del få stå tillbaka för mer varierad och grundläggande
träning att se och använda komposantuppdelningar, bland
annat.
Diskussionen om egenvärdesproblem betonade den konkreta
innebörden av "spänna upp" och "lineärt beroende"
(existens och entydighet). Efter den inledande tekniken
etablerar vi lineära algebrans miljö,
vektorrum och därtill hörande teori. Det är viktigt
att begreppen från första början, och genomgående,
anknyts till konkreta föreställningar,
och inte bara geometriska. Poängen med dimensionsresultaten,
eller en viktig poäng, är att entydighet ofta är lättare
att fastställa än existens. Det gäller att ha exempel
där detta märks, t ex polynominterpolation.
Detta leder till frågan vilka rum som ska behandlas.
Eftersom redan Rn och dess underrum tvingar
den allmängiltiga definitionen av vektorrum behövs
inte fåniga exempel som man ändå inte gör något med.
Polynomrum
motiveras av den redan nämnda tillämpningen.
Lösningsrum till differentialekvationer
är ett likartat exempel. Man behöver
emellertid inte, och bör inte, införa alla samtidigt.
Samma gäller lineära avbildningar. Jag har själv betonat
geometriska exempel i början, därför att uppgifterna
ger resultat som går att se, och därmed kontrollera.
Linearitet är i sammanhanget en icke-trivial
egenskap, t ex vridningens linearitet är
ekvivalent med additionslagarna för
sinus och cosinus.
Först i samband med dimensionssatsen brukar jag
ta upp evaluationsavbildningar och differentialoperatorer.
En del hävdar att egenvärden och egenvektorer blir enklare
om man inte anknyter dem till lineära avbildningar
utan till matriser. Jag tror det är ett misstag.
Dels innebär det att vektorer förväxlas med sina
koordinater, dels blir det nästan omöjligt
att förstå vad matriserna T-1AT och
A har med varandra att göra. Speciellt som
matrisprodukterna ofta inte behöver räknas ut.
Ändå tror jag att man tidigt kan orientera
om egenvektorbegreppet i matristermer,
utan att öva på det. Det är ett försök
i nästa upplaga av Krypa-Gå. Man ser vart man
ska, och bygger sedan apparaten för en
mer allmängitlig behandling av problemen.
Det är nu värt att påpeka att dimensionssatsen,
rang, värderum, nollrum har ytterst lite
med kursernas fortsättning att göra.
Det är något som studenter måste
släppa om de släpar. Tillämpare betonar
ofta dessa begrepp utan att klargöra om de
behöver mer än orden, som isåfall alltid
kan ersättas av annat.
I reglertekniken kommer de in t ex i samband
med styrbarhets- och observerhetsmatriserna.
Nollrum är där ett lösningsrum, värderum
ett kolonnrum, höljet av matrisens kolonner.
Att kalla dem något finare mystifierar bara.
Ingen egentlig teori aktualiseras!
I vissa kurser betonas begreppen starkt,
mest, tror jag, därför att man kan exercera
rangberäkningar, och variera tentamensuppgifter,
i det oändliga. Används inte begreppen och satserna
t ex till existensbevis kan de helt undvaras.
Det skulle kanske befria lineära algebran från
en tråkighetströskel.
Vi är därmed vid den punkt där det ena huvudmålet,
minsta-kvadrat, kan verkställas. Det kan t o m läggas
tidigare, före dimensionssatsen, eller lineära
avbildningar. Jag ser både för- och nackdelar.
Med teorin för euklidiska rum har också livsmiljön
för symmetriska avbildningar upprättats.
Precis som för vektorrum gäller att man inte ska
förlora sig i exotiska exempel eller axiomatikältande.
Funktionsrum tror
jag är direkt olämpliga i detta skede.
Diagonalviktning kan vara värt att nämna,
det tycks vara det vanligaste.
Sist i min uppräkning kommer basbyte.
Jag anser att detta ska komma sent.
Huvudskälet är att stoffet, trots sin elementära
karaktär, blir rörigt annars.
Ett skäl, därnäst, är att det blir lättare
att ge meningsfulla exempel och övningar.
Att i det oändliga
öva uppställning av koordinatsamband, utan något
att anbringa dem på, är tortyr.
Det visar sig, genom denna lite slingriga uppräkning,
att redan en snäv inriktning på två huvudmål
motiverar mycket stora delar av gängse kurser.
Allt, påstår jag, utom dimensionssatsen
och isometrier i låg dimension.
Inget av detta bör dock offras, studenterna bör bara
uppmärksammas på möjligheten att lägga detta åt sidan
om det tar emot eller blir för mycket.
Detta slags hjälp motiverar förändrade lärarroller
och umgängesformer. Avskrivningslektioner försvinner
om det inte finns tavlor där man möts.
Föreläsningar
Y- och D-linjens kurser hade 1978-1992 enbart lektioner,
s k storseminarier. Detta är formen för dagens kurser
på M och I.
Jag tror meningen, när föreläsningar ströks, var att det inte skulle
föreläsas alls. Jag fann det värt att pröva, eftersom en
misslyckad eller opsykologisk föreläsning kan ge avsmak
och motverka studentaktivitet.
Jag hoppades i c:a 10 år på intressanta effekter när
studenter arbetade med en mångfald uppgifter, helst i förväg,
och inviterades att se mönster och dra slutsatser.
Om det var bra eller dåligt fick jag aldrig veta.
Jag var för ensam,
och ansatsen var för främmande för studenterna. Jag har därför
letts till slutsatsen att kurser i matematik, utan undantag,
ska ha föreläsningar, c:a 6 timmar per poäng.
Det är mycket tydligt att storseminariekurser är långtifrån
föreläsningsfria. Det pratas mycket, och framförallt mer
om saker som inte alls är tacksamma att föreläsa.
Det kan vara en fråga om bristande självförtroende, men
än så länge är det lyckligtvis en idiotförklaring att från
tavlan beskriva hur man löser ekvationssystem.
Jag fann Y-linjens föreläsningsvolym, 14 föreläsningar,
optimal. Den tvingade till beslut utan hets
och utan godtyckliga luckor eller hopp.
Det var möjligt att ge en rätt koncentrerad överblick,
men också enstaka utblickar. Man slapp
föreläsa matrisräkning!
Lektioner
När jag blev kursledare på riktigt, 1992, försökte jag reformera
lektionerna. Jag ville, på sikt, avskaffa allt salsräknande
och låta allt utgå från studenternas presentationer på
tavlan. Det var orealistiskt och inte helt nödvändigt.
Studenterna känner inget större behov av att effektivisera
såpass väl tilltagen lektionstid. Att pressa dem
till bättre förberedelser genom en minskning torde
inte heller hjälpa. Snarast ökar det trycket
mot lärarna att demonstrera uppgifter.
Eftersom lineära algebran känns främmande och abstrakt,
med uppgifter som inte omedelbart utpekar lösningsgången
(de kan egentligen vara hur enkla som helst)
kan vi alltid räkna med
ett sådant tryck. Det är oerhört viktigt att inte ge efter.
Endast genom eget arbete i många enkla, och rikt varierade,
uppgifter kan genomsnittsstudenten öva upp förtrogenhet,
mönsterigenkänning och känsla. Kursledaren har en viktig
roll, men är mest utsatt. Detta aktualiserar
frågan om klarare stöd från ledande håll.
Lika viktigt är förstås att uppgiftsövandets karaktär
av medel betonas genom täta uppföljningar.
I grupper där studenterna är
väl förberedda kan man ha fungerande tavelverksamhet
större delen av kursen. Erfarenheten har visat
att detta ger överlägsna resultat.
Litteratur
Ifråga om litteratur är jag part i målet. Men jag skrev böcker
för att fylla luckor och blir oftast ytterst deprimerad
när jag går igenom befintlig litteratur. Utvecklingen går
definitivt åt fel håll.
Realistiskt kan vi diskutera svensk och nordamerikansk
litteratur. Svenska böcker är ofta kortfattade och snävt
anpassade till kurser på författarens arbetsplats.
Detta tar sig emellanåt parodiska uttryck.
Ett undantag (i det senare avseendet)
är K-G Anderssons bok som nu spolats
i Lund. Jag antar att min bok kommer att gå samma
väg; en del påstår att dessa två är de enda riktiga
böckerna i lineär algebra på svenska.
Amerikanska böcker är svulstiga, långrandiga och pratiga.
De är gjorda för den anglosaxiska skedmatningstraditionen
med många korta föreläsningar. Att ha dem som följeslagare
i våra mer koncentrerade kurser är frustrerande,
organisationen är alldeles för ineffektiv. Hur studenterna
ska vinna överblick begriper jag inte. Det är kanske inte vad
de själva efterfrågar, i utgångsläget, men utgångslägen
ska övervinnas.
Typuppgiftstänkandet cementeras när blotta långrandigheten
håller teorins olika delar noga isär.
Medan amerikanarna slösar med grafik och färg missar de ibland
poängerna på ett hårresande sätt. Anton och Edwards-
Penney har inte en enda figur som illusterar
linearitet! Dessa författare betonar inte hur basbilder
kan avläsas eller ställas upp, dvs. att en lineär
avbildning framgår ur ett fåtal data. Eftersom
de därigenom alltid måste arbeta med godtyckliga
vektorer blir linearitet något som utläses ur uttrycken.
Geometrin försvinner i ett moln av siffror.
Lays bok brukar framhållas, och används på många ställen.
Den har många trevliga, och flera onödiga, tillämpningar.
Tyvärr är den lika steril i det geometriska
och lika plottrigt organiserad, som de flesta av
konkurrenterna.
De svenska böcker jag granskat är desto mer överskådliga
och koncisa, rentav till överdrift.
Jag lutar åt att någon av dem kan begagnas på M och I,
efter kompletteringar. I ett hänseende är de säkert jämbördiga,
nämligen geometrin. Där är den svenska traditionen mycket stark,
medan den amerikanska gör siffror av allting.
Huvudkandidaterna är Gunnar Sparrs Lunda-bok,
Anders Tengstrands Växjö-bok, samt Luleboken med många
författare, alla på Studentlitteratur.
Sparrs
bok har inget om kvadratiska former eller
differentialekvationer, vilket bör vara lätt att
åtgöra med kompletterande material. Boken är
överlag uppskattad i Lund, mycket därför att
den har skygglappar. Studenter kan stegra sig
inför stoff som inte genast sätter sig
men inte angår alla. Jag tror att valfrihet aldrig
kan vara fel; vidare är det en olycka att
svenska förlagsutgivna kurskompendier
är så klena följeslagare genom senare
stadier av utbildningen.
Den allvarligaste bristen, enligt kolleger, är att
endast vektorrumet Rn införes, inte ens
dess olika underrum. Då blir det svårt att
motivera att man visar satser av typen
"rätt antal element ger: oberoende omm
spänner upp" - båda egenskaperna är nämligen
exakt lika lätta att verifiera i Rn.
Ändå dyker underrummen upp i skepnad av
nollrum och värderum i avsnittet om dimensionssatsen.
Ser man att de är exempel
på samma sak som hela rummet Rn?
Det mesta kan upprepas beträffande Luleboken som dock
har den stora fördelen av många övningsuppgifter,
åtskilliga riktigt bra. Övningsuppgifter i separata häften
konserverar uppfattningen om övandet, "praktiken",
som något helt skilt från "teorin".
Tengstrands bok stannar väldigt länge i tre dimensioner.
Sen görs det mesta om och det går fort.
Dimensionssatsen i tre dimensioner
blir smått komisk - kanske
detta faktum leder studenten att inse
att n dimensioner inte är märkvärdigare än 3.
Tillämpningarna borde klargöra detta.
Den tillämpning som genomföres (f ö även i Luleboken)
är nu minsta-kvadrat-problemet
(i Sparrs bok är den en notis!).
Den allmänna rangteorin visar att AtAX = AtB
är lösbar, det är sedan enkelt att verifiera
att lösningen (evt. lösningarna) ger önskat minimum.
Då försvinner geometrin. Jag finner det mycket naturligare
att först visa projektionens existens, varpå
lösbarheten är omedelbar. Normalekvationerna
är dessutom inte det viktigaste; alla
av mig kända verksamma
numeriska förfaranden tar sats i geometrin.
I det allmänna avsnittet om baser och dimension
är prioriteringarna och formuleringarna märkliga.
Sats 1 lyder "Om ett ändligdimensionellt lineärt
vektorrum spänns upp av k vektorer så är alltid
fler än k vektorer lineärt beroende": Det är obegripligt.
Det borde stå "så är varje svit med fler än k vektorer
beroende".
Sats 2 formulerar dimensionens invarians
men satslydelsen sammanfattar inte vad felet är med
sviter med fler eller färre element.
Sats 3, om utfyllnad till bas, får en egendomligt
framskjuten position, med pedantiskt bevis,
medan den kraftfulla
satsen om "rätt antal element" inte formuleras alls.
Den flitige författaren har nog haft lite bråttom
här, precis som själva boken.
Gemensamt för båda böckerna är den svåra axiomatiska
framställningen av determinanter. Den mest konkreta
och lättförstådda framställning jag vet är den
hos G.Shilov. Jag stal den redan 1974.
Det vore inte rättvist att säga att Luleboken behandlar
determinanter av godtycklig ordning.
Sätter man in böckerna i sammanhanget av undervisning
med tuktad föreläsningsvolym tror jag Tengstrand
och Luleboken är lättast
att komplettera. Den boken har till skillnad från Sparr
(och i likhet med Luleboken)
övningsuppgifter, men fler och bättre behövs.
Som alternativ har föreslagits populariserade versioner
av Krypa-Gå och Kossan. Att bara skära i dem verkar fånigt,
det kan studenterna göra själva. Jag kan möjligen tänka mig
ett gruppjobb framgent.
Jag har arbetat ensam med mina böcker
i 25 resp. 17 år och kan behöva friska infall från
kolleger.
Datorstöd
Jag har inte sett något som är bra.
Examination
Det pratas mycket strunt i denna fråga.
Hur det fortsätter
Det är värt att ägna några ord åt kursens fortsättning.
Hur förvaltas och underhålles kunskapen?
Den första tillämpningen är flervariabelanalys. Kursen
aktualiserar euklidiska rum (ty analysen sker där),
abstrakta grundbegrepp som lineärt beroende (lagrange)
med geometriska tolkningar, determinanter och deras geometri,
samt kvadratiska former. Olineära avbildningar lineariseras
och man ska veta vad det innebär.
Åtminstone på Y och D betonas
algebran kraftigt vilket (med gillande) noteras på
kursvärderingar. På D sker detta dock med avsevärd fördröjning,
ett ofrånkomligt resultat av de s k tematerminerna.
För både Y- och D-linjens del har jag funnit det
besvärande att ett så viktigt och välskött ämne som
reglerteknik kommer så sent. Tillståndsteorin
är en härlig tillämpning av lineär algebra
(och mycket annat).
På Y skulle detta kompenseras genom en omstrukturering
av numerisk analys, vilken diskuterats på ämneskonferenser.
Mer numerisk lineär algebra, SVD, QR, isometriska
metoder för minsta-kvadrat. En sådan förändring
är hett begärd av signalbehandlare i både en och två
dimensioner.
På D diskuterar vi idag en systemteoretisk termin
som skulle kunna ligga redan på våren i tvåan.
Tanken är bl a att ersätta de 5 poäng matematik som försvinner när
Analys F läggs ned. Lineär Algebra finge då sin
naturliga fortsättning i Lineär Analys,
transformer men också en del specialiserad
lineär algebra.
En del av detta finns förberett i mina böcker.
På M är det hållfasthetslära och stela kroppen som tätast
efter analys B förbrukar lineär algebra. Jag blir bestört
när teknologer långt upp i årskurserna tvärsäkert
hävdar att algebran för dem aldrig var annat
än självändamål. Något är fel någonstans.
Beträffande I-linjen sammanfaller några av de viktigate tillämpningarna
med dem för M. Angående ekonomiska tillämpningar har
jag inte lyckats utröna så mycket. Tre förfrågningar
hos produktionsekonomerna har lämnats obesvarade
Så länge I och M
fungerar som inbördes oberoende kurser är det värt att
undersöka om vardera kan profileras mot sina speciella
tillämpningar. Sådant betyder mycket för humöret
och viljan. Idag undrar en del M-studenter varför
Y- och D-linjens kurs är så mycket mer "praktisk"
än deras.
Linköping den 1 februari 1999 (och 14 juni 2000)
Peter Hackman
Till tablån