Just-in-time, tillämpningsanknytning, integration

Matematiken på tekniska utbildningar motiveras av sina tillämpningar. En vanlig slutsats är att samma gäller matematikinlärningen i alla dess faser. Ur detta har skrivbordsfilosofier om "integration" och "just-in-time" uppstått.

Det förra innebär att inlärningen i matematik blir snabbare och mer lustfylld om matematiken läses parallellt med en, möjligen flera, tillämpningar. Det senare att varje "moment" eller "del" ska läsas precis när det behövs, icke tidigare. Gränsen är inte tydlig.

En variant av dessa tänkesätt är att matematik ska läsas efter tillämpningarma, "top-down". När man sett "hur det fungerar" är man motiverad att verkligen "förstå". Studenterna skulle också tydligen bli särskilt motiverade för matematiken när de vet att den inte kommer att användas mer!

Som kommentar till praktiskt taget alla föreslagna lösningar, citerar jag Thorbjörn Jemander, yt- och halvledarfysik (doktorand när detta skrevs): "Motivationen är inte ett utbildningsproblem. Det är ett samhällsproblem. Universitetet måste sluta leda studenterna med band runt magen för att de inte ska tappas bort ... Man ska inte tro att problemen löses med 'strukturåtgärder'. Mer resurser och engagerat folk utan politiska ögonbindlar."

Några yttranden från studenter är belysande. John Wilander, D: "Jag gillade att ha 'rena' matematikstudier. Det känns som något man vill fokusera på och för mig frigör det mental kraft att få göra något ordentligt". Åsa Wiklund, Y: "Det känns också som matematiken kommit i rätt ordning; vi har läst en mattekurs, t ex vektoranalys, sen kommer kursen i elektromagnetism som är en direkt tillämpning. Det gör att matematiken känns relevant."

Åtminstone två av ovanstående idéer har prövats i praktiken. Det som inte prövats är "just-in-time" eftersom det knappt är möjligt att ens föreställa sig något praktiskt genomförande. Matematikkurser består inte av oberoende "delar" och "moment" utan är kvaliteter som byggs upp. Även de som har svag känsla för matematikens deduktiva struktur uppfattar definitionernas hierarki. Avancerade begrepp kan endast definieras i termer av enklare, med vilka man måste ha gjort sig förtrogen.

Tillämpningar kan alltså inte struktureras så att behoven infinner sig i den logiska ordningen. Vidare har vi märkt att inläsning (uppslagning) motiverad av ett akut tillämpningsbehov inte leder till bestående kunskaper. I både Analys och Lineär Algebra på IT-linjen har man prövat att ge tentamensuppgifter som direkt anknyter till vinjetterna, lite större uppgifter att diskutera och lösa i grupp. Inte ens en person per basgrupp klarade dessa tentamensuppgifter!

Man bör alltså hålla i minnet att grundläggande kurser i Analys A och Lineär Algebra, framför allt, till kanske 60-70 procent består av uppbyggnad, medan resten är mål. Samordning med tillämpningar kan leda till forcering av uppbyggnaden eller totalt kaos. Detta är åtminstone en del av förklaringen till de dåliga resultaten i matematik (och fysik) på IT-linjen.

Det är inte fullt så lätt som jag en gång inbillade mig att tidigt ge vinkar om målen; jag vet det genom studenternas reaktioner på ex.vis de tillämpningsexempel jag lade in nyss i Krypa-Gå (nybörjarbok i lineär algebra). Man ska inte ta för givet att det som så många kallar "skolfysik" är bekant för studenterna. Inslag som krävde Newtons lagar och Hookes lag (en relativt enkel diskret svängning) betraktades endast som obegripliga eller illa skrivna.

I ett annat sammanhang föreläste jag liknande modeller i slutet av en kurs i lineär algebra. Den övervägande reaktionen (från studenter som samtidigt läser Fysikaliska Principer) var att detta var svårt; det var inget som lockade till fortsatta egna funderingar. Hur de skulle ha reagerat om föreläsningen följts av eget övande i detta slags modellering (och inte bara övning i färdiga differentialsystem) är öppet för spekulationer. Och, naturligtvis, försök.

Endast erfarenheten tycks ge vägledning. I kursen Analys B för D2 har jag av tema-terminerna letts till att anknyta till de tillämpningar som samtidigt läses, inom fr a mekanik och elektromagnetism. Det är långtifrån alltid studenterna ser de anknytningar jag betonar. Det kan bero på att de ändå inte är i fas med dessa kurser. Det enda tillämpningsexempel som väckt påtagligt intresse är ett om robotteknik, vilket de flesta D-are aldrig kommer i kontakt med.

Dessa erfarenheter kan verka frustrerande men behöver inte vara det. Studenterna efterfrågar inte nyttan så länge det inte blir svårt. Till exempel lösning av ekvationssystem, beräkning av determinanter, överhuvudtaget förfaranden i steg utan särskild eftertanke om logiken hör till det studenter utan vidare tar till sig och aldrig ifrågasätter. Men särskilt roligt och intresseväckande är det knappast!

Till det svåraste hör det som ligger närmast tillämpningarna och svårast av allt är att kombinera grunder med tillämpningsmodeller. Det är svårt vid vilken tidpunkt som helst. Det är en återkommande synpunkt från avnämare att studenter har svårt med övergången mellan manipulativ kunskap och (t ex) fysikalisk modellering, trots att det omedelbara behovet borde vara motiverande.

Det kan vara viktigare att förmedla en känsla av mening. Den mesta matematiken kan förankras i åskådningen. När man inför lineära avbildningar är det klokt att börja med geometriska exempel vilkas förutsättningar kan ritas, och där även svaren ofta går att kontrollera i figur. Först sedan kan det vara motiverat att införa "verkliga" exempel som differentialoperatorer och evaluationsavbildningar (med tillämpning på interpolation!) eller superpostitionsprincipen, sambandet mellan ut- och indata till praktiskt viktiga differentialekvationer.

Att lägga matematik efter tillämpningar har prövats åtminstone två gånger. En var när stora delar av lineära algebran på Y-linjen lades i trean ett par år på 70-talet. Kursens lästes av kanske en tredjedel av studenterna. Den var uppskattad, men flertalet undrade över placeringen. Om vi läst detta före stela kroppen, före opten, före nummen hade vi förstått. Ingen sa, "nu äntligen förstår vi" och ingen, absolut ingen rafsade fram och läste om sina gamla textböcker för att förstå. Tiden hade gått ifrån dem. De var besvikna över att ha blivit korvstoppade.

Den andra jag känner till är när den matematiska statistiken lades efter signalteorin, till stor frustation för alla inblandade. Enligt vad jag hört ska man nu på I-linjens systeminriktning pröva att lägga transformteorin efter reglertekniken. Ideologiskt betingade missförstånd har en enorm livskraft bland dem som inte behöver ta ansvar för dem. Lärare tycks vara de enda som är beredda att lära något av kända erfarenheter.

Matematik parallellt med tillämpningar var tidigare vanligt i så måtto att civingutbildningarna ofta innehöll någon elementär fysikkurs i ettan. Vissa matematiska begrepp var kända från gymnasiet, andra kom i tid, åter andra "försent". Något större problem var det aldrig, utom att fysikkurserna knappast nådde tillfredsställande mål. De flyttades på flera håll högre upp och förseddes med mer kvalificerat innehåll.

På M-linjen finns dock traditionell fysik kvar i ettan. Jens Birch har haft TFFY 68 Klassisk Fysik och konstaterar snarast ett konkurrensförhållande gentemot samtidigt pågående envariabelanalys. Dock har förkunskapsproblemet delvis lösts genom omorganisation av första årskursen. Vidare finns en strävan att tona ner den matematiska begreppsapparaten för att inte skymma sikten för de fysikaliska fenomenen.

Beträffande M-linjen, se vidare under rubriken maskinteknik. Jag tror att man, inom ramen för grundkurserna, bör fundera på följande förslag från Dan Loyd, mekaniksystem, IKP: "Värmeöverföring skulle kunna introduceras för motivationshöjning redan från årskurs 1 med hänsyn till alla påtagliga tillämpningar som finns i vardagslivet och i allmänt ingenjörsarbete". Det är tydligt att fundamentala idéer inom M-linjens tre analyskurser (A,B, fortsättningskurs) och lineära algebra kan få en naturlig omsättning i denna tillämpning.

Lars Engströms egensinniga skapelse, Fysikaliska Principer , flera program, går ett steg längre. Kursen kan sägas bestå av en samling populärvetenskapliga essäer eller föredrag med intresseväckande kluriga titlar: "vad är naturligt med naturlig tillväxt", "varför är det så gott om sinus", "videobutiken". Matematiska idéer och begrepp motiveras naturligt av de diskuterade fenomenen men bearbetas knappast tekniskt. Studenternas aktivitet under kursens första hälft är koncentrerad till laborationerna.

"Strukturering av problem och analogitänkande kan sägas ha en framskjuten plats. I mån av tid och förmåga försöker vi vara lika varsamma i våra resonemang som vore det fråga om matematik men ibland tar vi sjumilakliv med intuitionens hjälp... Gränsdragningen mellan fysikerns och matematikerns ansvarsområden berörs. ... den som tolkar de matematiska begreppen bär det fulla ansvaret".

Man kan säga att Engström tar på sig ett tungt ansvar att förmedla kontakt mellan fysik och matematik utan att ingripa i det senare ämnet, dvs. matematiken kan fritt liva sitt organiska liv och byggas upp med tålamod och systematik, "för sin egen skull", som det brukar heta.

Mest outrerat och ideologiskt har samtidigheten drivits på IT-linjen. T ex skulle i början 3 poäng lineär algebra samsas med en lika snuttig mekanikkurs och lite inledande datalogi. Man skulle integrera inslag som stympats i precis den ände där de möts! Algebran ligger idag som en separat kurs, identisk med D-linjens, på 5 poäng. Skillnaden börjar synas, vilket påpekats av bland andra Maud Göthe-Lundgren, i samband med optimeringsinslaget.

Envariabelanalys på IT har "integrerats" med fysik. Det betyder att momenten stuvats om obetydligt, men irriterande. Man läser differentialekvationer före primitiva funktioner. Det är svårt att lösa differentialekvationer utan att lösa integraler! Det bromsar i inledningen och leder till omtugg och ineffektivitet. Detta är matematikerperspektivet

Från fysikens håll rapporterar Kenneth Järrendahl om TTIT20 Fysikaliska Modeller om allt som rimligen borde ingå i matematikinslaget, t ex "differential- och integralkalkyl i 3D", dvs. i princip hela den flervariabelanalys som läses ett år senare. "En snabb orientering ... i tidigare kurser är till hjälp". Mitt intryck är att lärarna är föga införstådda med den "spiralmodell" som tydligen är en del av IT-linjens ideologi, dvs. kurser ska egentligen inte alls vara tillfredsställande genast man läser dem, utan allt ska klarna något år senare genom något annat sammanhang. Huruvida lärarna förenas eller konfronteras av de gemensamma frustrationerna verkar variera genom åren,

Påtaglig är också föreställningen att lärarnas samarbete ska avse föreläsningsplaneringen, vilket ofta binder föreläsandet till presentation av fakta i viss ordning, snarare än sidobelysning av teorier som rimligen har textbokstäckning. Hur det hänger ihop med idén om att "söka sin egen väg till kunskapen" är jag inte kapabel att utreda.

Vi vet nu inte om en radikalare ansats än denna "integration", och en viss stympning av föreläsningsvolymen, skulle fungera. IT-studenter är minst lika konservativa som andra och har inte varit särskilt lystna på radikala upptåg.

Det mest framgångsrika integrationsförsöket gäller temat TTIT63, Återkopplade Lineära System. Det beror på den ingående matematikens speciella karaktär. Bara en transform behandlas, Laplace. Med dess hjälp behandlas en del till reglertekniken kraftig anpassad lineär algebra, som helt enkelt brutits loss ur tillämpningen och nu äntligen ges en stringent och fullständig behandling.

Anna Hagenblad, stod för ISY:s inslag senaste året. "Jag tror att vi väldigt många fall kan integrera mycket mer än vi nu gör. Något att tänka på är dock att separering kan ge mer tid till övning av grundbegrepp, vilket kan underlätta förståelsen längre fram". En vanlig erfarenhet från IT-linjens första år var att den täta anknytningen till andra ämnen inte motivera studenterna att bearbeta de matematiska grunderna, men väl till att hasta förbi dem.

Därnäst framgångsrikast är parallelläsningen av Transformteori och Kretsteori på Y-linjen. Företrädare för det senare ämnet uttrycker dock viss frustration över att saker "kommer" försent. Studenterna verkar dock uppskatta den tydliga kvalitativa arbetsdelningen, speciellt sedan tabellslåendet minskat i omfattning. Ingenjörskonst mot matematisk stringens.

I några enstaka fall, när matematikkunskapen är mycket specialiserad, eller totalt onjutbar utanför tillämpningarna, har det varit motiverat att lägga in matematiken i tillämpningen. Det gäller t ex tensoranalysen i relativitetsteorin, se ifm-avsnittet, Rolf Riklund), eller statistikinslaget i vissa kemikurser. Är matematiken mer kvalificerad, och mer mångsidigt användbar inom utbildningen, fungerar sällan sådana arrangemang; matematiken kommer helt enkelt bort, eftersom föreläsarna ofta hittar mängder med stoff de vill pressa in. Det kan verka som om självständiga matematikinslag är ett motgift mot korvstoppning.

Apropå det tidigare nämnda inslaget med fysik och matematik på IT har professor Ingemar Ingemarsson spunnit vidare. Om studenterna fortfarande såg två ämnen, där han hade velat se något gemensamt (oklart vad) hade ändå någon form av interaktion etablerats. Kanske felet, enligt honom, var att man försökte integrera två existerande ämnen. Man kunde kanske skapa ett nytt ämne vari dessa specialiteter integrerades. Jag undrar om inte många tillämpade ämnen redan idag kan ses på det viset. redan flervariabelanalysen kan ses som en syntes av lineär algebra och envariabel. I Reglertekniken samsas ett otal matematiska teorier och tekniker med idéer från fysik, mekanik, elektronik.

Jag tror att undervisare inom tekniska utbildningar har svårt att se kunskapen som en fix och statisk "helhet". Deras kunskapssyn är snarare kalejdoskopisk: skärvorna bildar mönster som kan varieras. Men skärvorna är bara skenbart skärvor. Varje isolerat, användbart, "moment" kräver åtskilligt av förberedelser och grundläggande övning.

En annan bild är disciplinerna som kunskapsparadigm och därmed som utsiktspunkter för olika perspektiv på problemen: matematikens deduktiva, fysikens spekulativa och teknikens intuitiva tankemodeller.

Med andra ord, man skapar sina helheter bäst själv; det är då de blir lättast att ta isär och omstrukturera. En större valfrihet kanske framtvingar funderingar om samspelet mellan olika discipliner.

Försöket med "tematerminer" på D-linjen hör också hit. De diskuteras under D-programmets rubrik.

Den tillämpningsanknytning som till sist kan vara värd att diskutera kunde vara mindre projekt i anslutning till grundkurserna, inom områden med relativt lättillgängliga modeller.

Ett redan flera gånger genomfört inslag är Stefan Rauchs kurs TATM38 Matematiska Modeller i Biologi för TBi, som till stor del handlar om dynamiska system och partiella differentialekvationer. Här ska studenterna i grupper om fem arbeta med projekt (de har sex att välja på) som bland annat kräver inläsning av originalarbeten, och presentera dessa muntligt. En studentkommentar, Anna Dahlén, TBi: "Likaså är det viktigt att visa på hur matematiken kan tillämpas så att den inte reduceras till ett bollande med siffror ... Ett positivt exempel ... är kursen Matematiska Modeller i Biologin där vi gjorde ett projekt och själva fick studera olika modeller. Mycket bra för att stimulera nyfikenhet och experimentlusta"

Man kan undra om inte en liknande modell i exempelvis D-linjens Analys A och Lineära Algebra kunde ersätta (eller samordnas med) Perspektiv på Datateknik och det nyss nämnda inslaget, till fromma för helhetssynen.

Om inte sanningen är så naturlig som för Lars Hultman vid Tunnfilmsfysik, IFM. Apropå frågan om möjligheten att tidigt åskådliggöra tillämpningarnas krav och karaktär genom t ex mindre projekt svarar han: "Passar nog olika teknologer väldigt olika. Om resurser finns så kan ju ett smörgåsbord av frivilliga aktiviteter vara bra för individens respektive inlärningsprocess".

Åter till tablån