Pedagogisk filosofi i två bokstäver

Numera är man inget om man inte har en pedagogisk filosofi. Den ska heta något och gå att förkorta i tre bokstäver, PBL, helst. Troheten mot en filosofi är viktigare än lyhördheten och öppenheten för överraskningar och förändring.

Praktiken är ofta mer beklämmande än så. Styrs man inte av den omgivande verklighetens nycker är man desto mer utlämnad åt sina egna nycker eller fördomar eller skiftningar i humöret. PBL eller varje annan filosofi blir då en väska med falska bottnar. Man kan frakta med sina käpphästar eller sitt maktbegär.

Jag kostar på mig att ha, och rentav verkställa, en filosofi som kan beskrivas i två bokstäver. Men det är en filosofi som förhoppningsvis öppnar och vidgar sinnena. De två bokstäverna är inte ens en förkortning utan ett svenskt verb i imperativ. Ordet är "se!".

Det finns en etablerad teori om hjärnans båda halvor. Vänster hjärnhalva står för det logiska, lineärt beskrivande och resonerande, i detaljerade steg, höger för bilder och helhetsupppfattning. Är det så har vår utbildning förvandlat vänster hjärnhalva till en gigantisk cancersvulst. Allt blir siffror och förfaranden i strikt ordning. Följdriktigheten är inte logisk utan temporal. En lösning ska satisfiera en lösningsgång, inte själva problemet.

Faktum är att många missförstånd, räknefel och logiska kullerbyttor skulle förebyggas om vi tittade efter lite. Helhetsbilden, den enkla visuella modellen för den abstrusa tekniken (och logiken), leder oss ofta rätt, förbi villospår. Men det är inget trivialt. Seendet är inte omedelbart eller entydigt. Det är ett arbete, även när det verkar ögonblickligt, och det måste övas. Vi ser i strukturer och gestalter som bestäms av vanan, som kan ändras och som ibland måste ändras mitt i arbetet med ett problem.

Bilder måste ofta läsas, studeras, jag borde kanske säga "besökas". Man kan se på flera sätt och från olika håll; ord som "synvinkel" och "ståndpunkt" ger vardagliga belägg för detta.

För att öva sitt seende, och öva förmågan att byta perspektiv, måste man själv göra bilder. Grafritande räknedosor har inbjudit till missbruk. De har kommit att betjäna den pedagogiska lättjan istället för uppfinningen. Det första utredande momentet, kurvritning, överlåts alltför ofta till räknaren. Det är en viktig träning som går förlorad ty kurvritning, studiet av derivatans tecken, av lodräta asymptoter, av beteendet i oändligheten, betonar just helhetssynen, hur en funktion beter sig i stort sett (smaka på orden, betona alla tre). Derivator, asymptotik, dominans är begrepp som stöttar vårt seende, nödvändiga för att se, förstå och behålla.

Värdetabeller, som dosan gör, kommer sist om det kommer alls. Detaljerna är i regel oväsentliga för tillämpningen.

Om alla gjorde till vana att låta en undersökning åtföljas av en egen graf, aldrig så fumligt ritad, skulle de vanligaste logiska felen utebli, t ex att försumma intervallets ändpunkter. Då skulle också fler av bara farten göra de nödvändiga bilderna, i rymden, vid behandlingen av funktioner i flera variabler.

Ett vanligt sådant problem är att bestämma volymen mellan två funktionsytor. Man behöver då veta var de skär varandra, vilket ofta också ger en beskrivning av områdets lodräta projektion. Det är en uträkning, man eliminerar en variabel ur ett ekvationssystem. Den som inte underbygger sitt räknande med en enkel figur kan ledas till hårreseande felslut. Värre än så, den som inte gjort till vana att åskådliggöra problemet, visar ofta att han inte har en aning om vad han gör. Han kan rentav vara nöjd med det, om han vant sig att inte begripa, "det här är för svårt för mig, men jag kan väl alltid göra efter". Vi undervisare hoppas vägleda din aktivitet så att du ser att du är delaktig i kunskapen.

Jag ska ge ett långt exempel där jag menar att elektronikentusiasterna, fjättrade av sina hjälpmedel, letts att tänka helt fel. Det var en diskussion på nätet om härledningen av trigonometriska derivator. Textboksbevisen ställer ofta upp en differenskvot

En entusiast föreslog att man skulle sätta in ett litet värde på h och sedan låta grafritaren plotta funktionen. Resultatet skulle nästan se ut som -sin(x), det skulle övertyga.

Skulle det? Hur stark är vår intuition för en sinuskurva (projektionen av en skruv, har du tänkt på det) jämfört med andra periodiska kurvor med liknande symmetri? Är grafen, eller ska den vara, vår primära föreställning av sinus? Vet vi vad som händer när dosan plottar grafen? Förbluffande många matematiker vet det inte.

Nej, ska man se så ska man också rita. Trigonometri utspelar sig på enhetscirkeln. Sinus och cosinus för vinkeln, eller bågen (vi får nog kalla den v, inte x), är x- och y-koordinaterna för dess ändpunkt (om bågen avsätts från positiva x-axeln). Vi ska naturligtvis derivera båda koordinaterna samtidigt. Det blir här bekvämast att arbeta med vektorer.

Betrakta ortsvektorerna för två punkter, svarande mot bågarna v och v + h. Ritar man skillnaden mellan ortsvektorerna, och bestämmer dess riktningsvinkel (som går att se!), leds man naturligt till precis den sortens "långsökta" omvandlingar som nämndes i början.

Men man kan förgrova lite först. Man ser att differensvektorns riktning är "ungefär" vinkelrät mot ortsvektorn; dvs. om den senares riktningsvinkel är v så är den förras riktningsvinkel v + pi/2. Längden är "ungefär" den samma som för motsvarande båge, dvs. vinkeltilskottet h. Vi får strax derivatorna på en enhetlig form. Derivatorna av sinus och cosinus framgår genom att pi/2 adderas till argumentet (vinkeln). Ortsvektorn vrids nittio grader.

Då blir det snarast fysik! Om v varierar likformigt med tiden t (säg, helt enkelt, v = t) kan vi tänka oss en partikel i cirkulär bana, med konstant båghastighet. Derivatan av ortsvektorn är hastighetsvektorn. Dennas riktning ligger tangentiellt utmed cirkeln, alltså vinkelrätt mot ortsvektorn (radien). Dess belopp är konstant lika med 1 = båghastigheten.

Textböcker framställer detta som en formell följd av de trigonometriska derivatorna. Jag vill att du ska se detta samband som själva idén.

Geometri i tre dimensioner inger fruktan och bävan hos många. Den inledande vektorräkningen i lineär algebra har kommit att bli kursens högsta trappsteg. Jag kände samma bävan för gymnasiekursens rymdgeometriska inslag. Men jag övervann min fruktan, genom att hitta plana figurer som innehöll det för problemet väsentliga, jag skar och projicerade. Jag lärde mig aldrig det jag nu försöker lära ut, att använda modeller iställetför perspektivfigurer. Det är förbluffande mycket som syns med hjälp av ett par pennor, linjaler och gummin. Att se är en avdramatisering.

Vi undervisare glömmer ibland bort vårt eget ansvar. Vi har en kvardröjande tendens att belasta uppgifter med räknemässiga och logiska komplikationer som skymmer innehållet. Om det krävs tre ark räkningar så är det väl räkning det handlar om?

Den redan omnämnda vektorräkningen har många gånger handlat om uppgifter där det givna är i tre rymdkoordinater, alldeles godtyckligt valda, utan egentlig mening eller syfte. Vi har på sistone börjat ge fler uppgifter i planet, där det givna går att rita och det sökta att mäta, som kontroll. Jag har några gånger gett uppgifter där inga siffror är givna utan ska tas ur en figur.

Det lilla räknandet handlar då iallafall om något. Vi är bara i början av en sådan utveckling. Med aktiva och nyfikna studenter som lärt sig fråga "vad är detta", "hur ser det ut" istället för "hur gör man", kan den accelerera.

Det rika utbudet av matematisk programvara har ännu inte försett oss med pedagogiska hjälpmedel, annat än möjligheten att skala upp problem till realistisk omfattning - sedan man väl i små exempel övat upp förtrogenheten. Men det har skärpt vår uppmärksamhet på målen och gjort tydligare för oss att räknandets roll måste minimeras. Övandet syftar inte till färdighet utan till förtrogenhet och beredskap. Det är alltid begrepp och samband vi övar, ty utan begrepp ser vi inget och utan dem kan vi inget utläsa ur ens den klatschigaste grafik.

Till tablån