Analys m m i datateknik och datalogi

Jag har fått i uppdrag att utreda rollen för analys, speciellt envariabelanalys, inom datalogiska ämnen.

Ämnet verkar vara under diskussion, och i lite konstiga termer.

Jag förvånas allt oftare över att diskussionerna så ofta landar i det kvantitativa iställetför det kvalitativa. Frågan är förstås aldrig "hur mycket" man behöver av ett ämne utan "vad" man behöver, hur man når dit och vad man ska ha det till. Granskar man tillämpningarna lite närmre ser man att man egentligen behöver allt, oftast på en gång, eller inget. Man blir då varse att analyskursen är samma odelbara och avrundade helhet som den i lineär algebra, men på ett mindre spektakulärt sätt.

Inför referensgruppens arbete var jag runt på flera avdelningar och presenterade målkartor över kurserna. Jag ville se om man delade min uppfattning om kursernas mål, om vägarna till dessa mål, om nyckelresultat osv. Jag möttes överallt av instämmanden.

För Analys A kan man säga att kursen är 4 poäng uppbyggnad och 3 poäng mål. Man kan givetvis inte vara utan vare sig det ena eller det andra om kursen ska ha mening.

De rätt långa förberedelserna gäller t ex definitioner av grundläggande begrepp, derivator och integraler, samt studier av deras egenskaper.

Vidare måste man ha något att derivera eller integrera, så ett rätt ingående studium av elementära funktioner, deras utseende, egenskaper, gränsvärden, identiteter, är av nöden. Denna startsträcka verkar numera behöva förlängas kraftigt med tanke på de nuvarande förkunskapsluckorna hos studenter.

Nyckelresultatet är Analysens Huvudsats, vad jag också kallar en utsiktspunkt. En utsiktspunkt är ett resultat som drar samman huvudlinjerna; man kan blicka tillbaka på vägen dit och se att allt var nödvändigt, man kan blicka framåt och se vad som nu är möjligt. Från ett sådant resultat grenar kursen ut sig mot de egentliga målen, de analytiska modelleringsredskapen. Dessa är integrationstekniken, Taylors formel och differentialekvationer, mål som delvis griper in i varandra, och som nästan aldrig används isolerade från varandra i tillämpningarna.

Jag tror att en sådan helhetlig beskrivning är ett nödvändigt korrektiv till de kvantitativa diskussionerna. Jag tror också att den belyser vanskligheten i den ofta omtalade just-in-time-filosofin; matematikkurser består inte av delar eller moment som godtyckligt kan permuteras med hänsyn till plötsliga behov. Uppbyggnadsarbetet är i vissa stadier rätt känsligt och kan lätt omintetgöras av en stressad eller splittrad studiesituation. Forceringar leder lätt till fragmenterad och obeständig kunskap.

Inlärningens kvalitativa karaktär är påtaglig för oss som undervisat grundkurser i lineär algebra och Analys A. Man förstår kursernas grunder på allvar när dessa omsatts i senare resultat. Skulle man t ex avbryta denna process halvvägs skulle det inlärda försvinna mycket fort. Det skulle också vara svårt att behålla det inlärda om kurserna sträcktes ut över lång tid. Kursernas rörelse gör deras målinriktning tydlig.

När jag gick runt hade jag aldrig tid att besöka IDA, en brist som jag nu reparerat. Mina främsta kontakter är universitetslektor Peter Jonsson och, i någon mån, professor Erik Sandewall.

Vi kan uppehålla oss vid den mer datalogiskt renodlade C-linjen. Analysen bör där ses i relation till sådana tillämpade matematiska ämnen som matematisk statistik och optimeringslära. En fullt genomförd kurs av endera (för att inte tala om bägge) torde kräva uppövad förtrogenhet med samtliga begrepp och viktigare resultat i analysen.

Jag anser att mina samtal med Jonsson och Sandewall bekräftade användbarheten hos dessa ämnen, även om jag inte riktigt förstod allt. Både lineär och kvadratisk optimering förefaller vara viktiga tekniker att konstruera algoritmer att skatta deras effektivitet och att pröva värdet av diverse approximationer. Statistiken ger metoder att räkna på programmens prestanda. Operativsystem, skrivarköer och annat aktualiserar kunskaper om stokastiska processer.

Mycket lite sades om numerisk analys, en kurs som i Ulla Ouchterlonys händer blivit uppskattad av studenterna, genom metodiken och problemvalet. Dess exakta roll hann vi aldrig klarlägga, men det förefaller som om ämnet ger ett relativt konkret mönster för frågor om algoritmer, datastrukturer, osv. Att analysen är avgörande förkunskap är närmast trivialt.

Ett relativt färskt tillskott till vår kursflora är Konkret Matematik som nu givits tre gånger. De båda första leddes av Gunnar Farnebäck, som idag är doktorand på ISY. Kursen modellerades efter den han själv besökte vid Stanford läsåret 93-94. Den tredje var min och gick våren 98. (ännu en upplaga av kursen gick våren 2000).

Det är glädjande att man från IDA-håll uppmärksammat kursen och att den tagits väl emot av dem som fullföljde. Det finns hopp om att utvidgningen av C-linjen ska ge förbättrad rekrytering, kanske kursen rentav kan ges varje år.

Trots att kursboken, av Graham mfl, inte tar upp några tillämpningar har studenterna insett dess nytta. I Skogshuggaren ansågs att den borde vara obligatorisk för TDA. Jag har haft kontakter med Per-Olof Fjellström, som skickat material från sin kurs KANALG. Jag kommer att fortsätta diskutera kursens utveckling med hans efterträdare.

Denna kurs, om någon, aktualiserar Analysen!

Dels betonar dess första hälft analogierna mellan kontinuerlig och diskret analys. Resultaten vore bra mycket svårare att ta till sig utan den bakgrunden. Den kontinuerliga analysen är i själva verket enklare eftersom betydligt större klasser av problem kan lösas exakt och på sluten form.

(För övrigt kan även diskreta rekursioner leda till differentialekvationer, t ex vid analysen av sökningsalgoritmer.)

Dels, och viktigare, avslutas kursen med asymptotik - om man inte kan beräkna en summa med kursens många tricks vill man ändå veta hur fort den växer.

Under kursens sita tredjedel aktualiseras integralomformningar, integralberäkningar, sambandet mellan summor och integraler, och åtskilliga elementära funktioners taylorutvecklingar. Krönet på verksamheten är Eulers summationsformel som är en uppjazzad Taylor med likartat bevis, samt Stirlings approximation som, till resultat och härledning, är inkörsporten till förståelsen av viktiga asymptotikfrågor. Den intresserade kan lätt övertyga sig om detta genom att studera första delen av D.Knuths monumentala verk, The Art of Computer Programming.

I själva verket är studenternas analyskunskaper snudd på otillräckliga, ett problem som innebar att en oproportionerligt stor del av förberedelsearbetet gick åt till att finna åtminstone partiella lösningar. Jag kommer att behöva göra mer. Det handlar inte om "delar" och "moment" som kan ersätta andra befintliga "delar", utan om en inte fullt bearbetad kvalitet som kommer ovanpå de befintliga grunderna.

Det viktiga för analysens framtida utveckling, med hänsyn till godtycklig tillämpning, är därför inte "hur mycket" eller exakt "vad" som ska vara med eller strykas utan hur det befintliga stoffet ska bearbetas för optimal förståelse och beredskap. Erik Sandewall använde just detta sista ord flera gånger under vårt samtal.

Kanske kursen ska förstärkas här en smula, tonas ned där, osv. Jag är aningen besviken att inte referensgruppens diskussioner kom att handla mer om detta. Efter att i åratal ha arbetat med lineära algebrans uppgiftsrepertoir tror jag att tiden är mogen för en liknande översyn av analyskurserna. Jag tror att en sådan fortgående utveckling ger liv åt kurser och kan ha avgörande betydelse för studenternas motivation. Engagemang föder engagemang.

Något jag märkt i en del diskussioner, och vid jämförelser med andra högskolor, är att det är så bråttom med matematiken just när vi är i detta krisskede - den får egentligen inte ta någon tid alls. Alla vill tränga in saker, även höggradigt specialiserat stoff som kanske åldras fort.

Det är därför värt att återge Peter Jonssons påpekande att en gedigen, och rentav gedignare, grund i matematik, icke minst analys, kan effektivisera, integrera och ekonomisera åtskilliga av de datalogiska specialiteterna.

Linköping den 13 februari 1999

Peter Hackman

Åter till hemsidan