Tillbaka till sandlådan!

I januari 2002 är jag på kort besök i Norrköping. Jag ska hålla föredrag på Matematikbiennalen. Ämnet är Pedagogisk filosofi i två bokstäver.

Min filosofi är "se". Sen jag skrev min essä på nätet har jag förtydligat för mig själv. Det finns två komponenter. Den ena är den lärandes egen aktivitet, rita, titta och ta. Se, men också röra, ty det handlar om ett granskande seende. Den andra är hur materialet presenteras och mitt föredrag handlar om detta.

Jag tänker specifikt på härledningar. Jag vill att allt ska förankras i seende, känsla och intuition. Härledningar ska inte vara till för att bli av med, eller med vigvatten bestänka, en sats, "nu är satsen förstådd, nu får ni öva på den". Bevisen ska biträda förståelsen, övandet ska förstärka den. Härledningarna ska därför ta sats i intuitionen. Samtidigt är den visualisering som inte förbereder eller förtydligar ett formellt bevis av ringa värde. Om det formella ska göras genast, t ex i gymnasiekursen, är en annan fråga. Men det ska förberedas.

Mitt föredrag är bland de första. Jag har inte tid att höra andra föredrag, men jag hinner med utställningarna av böcker och leksaker. Biennalen spänner över hela fältet. På mellanstadiet dominerar de klassiska hjälpmedlen, men i grannare färger. Det är procentskivor, bråkklossar och cuisenairestavar. Den entusiastiske utställaren, en fransman, påminner om den bortglömda dimensionen, att göra kunskapen påtaglig genom att ta på den. Detta är guskelov på väg tillbaka.

Raskt vidare till gymnasiet. Nu handlar det om datorer och räknedosor. Man kan lösa problem man inte klarade förut med händerna. Ofta är det problem vilkas lösning aldrig efterfrågats eftersom de inte har med målen att göra. Plötsligt finns spikar överallt för den som har en hammare. Men hammarens bärare märker inte ens att en del av spikarna är krokiga. De ska inte slås i utan dras ur.

Mitt åskådningsexempel är trigonometriska derivator samt de olikheter och gränsvärden som föregår dem. Jag tittar speciellt noga på den bok som har en matematikprofessor bland författarna. Som alla böcker "övertygar" den om gränsvärdena (sin x)/x och (1-cos x)/x genom att slå värden på dosan. Det senare gränsvärdet återförs inte ens på det förra.

Men boken hade tidigare, på undanskymd plats, några ansatser till härledningar. Olikheten sin x < x < tanx, för x mellan 0 och pi/2, härleddes genom jämförelse av areor. Att inkapsling av områden leder till olikheter mellan deras areor är intuitivt. Det finns också en slående analogi mellan triangelns och sektorns area: halva basen gånger höjden, halva bågen gånger radien. Samtidigt finns böcker som omintetgör suggestionen genom att beskriva sektorns area som en viss andel av cirkelns, som självklart tas för given!

Det andra gränsvärdet visades föredömligt och åskådligt. Ur en figur, en kroklinig rätvinklig triangel, framgår att (1- cos x)/x är mindre än x (och positivt). Författarna gör inte ens den naturliga förlängningen med 1+ cos x. De behöver inte.

När x går mot noll vad ska då inte det mindre uttrycket göra!

I själva verket går (1 - cosx)/x mot noll av samma skäl som sin x /x går mot ett. Vinkeln mellan sinus-sträckan (en halv korda) och bågen går mot noll, bågen blir allt rakare och alltmer parallell med kordan, då x går mot noll. Vinklar är vårt kanske enda sätt att åskådliggöra att längdförhållanden är små, stora eller nära ett. Detta är en poäng som alla läroböcker missar.

I den senaste upplagan är härledningarna borta. Jag sörjer detta och det jag sörjer är inte utebliven stringens utan utebliven åskådning. Vad gör räknedosan? Siffrorna är påståenden utan varje som helst belysande värde. Hur syns dessa siffror i en figur? Hur produceras de? Vad behöver man veta för en korrekt felanalys?

Så använda är de elektroniska hjälpmedlen parodier på experiment. Det är inte naturen de sätter i rörelse, utan program. Slutsatserna har redan dragits och vi ska bakvägen komma på dem ur slutsatsernas konsekvenser!

Den vanliga frågan uppstår. Är verkligen den enda möjliga eller accepterade utvecklingen att stryka alla förklaringar och därmed mystifiera och likrikta? Ska ingen få veta hur det förhåller sig och hur det ser ut?

Är det i någon mening nödvändigt? Om eleverna, vissa av dem, har svårigheter med det visuella, är det då nödvändigt och önskvärt att sopa det under mattan? Kan det inte få mogna fram? Får ingenting ta tid? Vad är skolor till för om inte just sådan inlärning, kunskap som mognar fram och därmed förändrar? I språk, musik och idrott tar vi det för givet.

Det kan ju heta att "svaga" elever behöver de där siffrorna för att "förstå". Vill vi övertyga eller övertala? Har indelningen i "starka" och "svaga" människor något annat syfte än att legitimera pedagogisk lättja?

I någon bok låter man dosan räkna på sin x/ x men med bågen i grader. Detta anses mycket instruktivt ty alla "ser" ju hur fel det blir. Svaret stämmer inte med facit! Vi ska alltså avstå från förklaringen att jämförelser av längder är meningsfulla och naturliga endast om de mäts i samma enhet!

När vi skärper stringensen härleder vi, som sagt, gränsvärdena ur en olikhet mellan sin x, x och tan x.

De traditionella läroböckernas framställning av de trigonometriska olikheterna blir då svår därför att figurerna alltid ritas fel.

Du har sett figuren i Arne P eller gamla Hylta-Calle. Cirkeln ritas i ett koordinatsystem och tangenten ritas vid dess högraste punkt, startpunkten för bågen x. Hylta-Calle approximerar bågen underifrån med en polygon av kordor vilka centralprojiceras ut på tangenten. Alla polygoner, därmed även deras supremum, bågen, är kortare än tangenten. Det är stringent, men inte helt lätt att se. Komplikationen bevisar min tes. Figurens orientering på boksidan eller tavlan lurar oss att se och resonera på onödigt krångligt sätt.

Tangenten ska istället ritas vid bågens slutpunkt. Vi ser då att bågen tar en allt brantare väg ned mot x-axeln, medan tangenten, från början lika brant, har konstant lutning. Brantare ändå är den halva korda som ger sinus, den är alltså kortast. Då ser faster Agda. Ska hon se något ur den "traditionella" figuren måste hon stå på huvet med fötterna mot en vägg.

Man kunde illustrera dessa förhållanden påtagligt med en trissa och ett snöre. Då blir de matematiska sambanden jordnära och påtagliga. Vi ritar i sanden, drar i snören och leker med pennor, gummin och linjaler. Åskådningen förbereder också stringensen. Vi jämför den nyss nämnda polygonen med tangenten genom att projicera parallellt med boksidans eller tavlans underkant, vilket är en mycket enklare idé.

Detta är inga originella tankar. De flesta lärare skulle efter en del tankeverksamhet komma underfund med detta. Men de flesta är för upptagna med att övertyga sig om svårigheterna så att dessa med gott samvete kan undvikas. Rodhe-Sollervalls bok, för ingenjörsutbildningarna, "undersöker" gränsvärdena "närmre" genom att först konstatera (påstå) att beviset är "relativt komplicerat", därpå kasta fram lite siffror från ingenstans.

Alla som skrivit och jämfört läroböcker vet att de populäraste texterna ofta är de som glider genom svårigheterna, låter dem förbli svåra, medan det riktigt stötande är att försöka förklara det svåra mer ingående. Därför väljer de flesta av oss att mumla. Den elit som kan tänkas begripa gör det ändå (vilket knappast är sant längre).

Men är det inte bara en fråga om vana? Jag har med framgång föreläst flervariabelanalys på D-linjen vid LiTH. De båda senaste åren har en ny svårighet dykt upp. Studenterna har svårt att förstå mina figurer, av allra mest klassiska handritade slag. En välvd yta över en plan projektion, med synrand och dold, streckad, bakre kontur. Det kan rimligen bara bero på att de ritat för lite själva. Dosan har ritat åt dem. Samtidigt är mina visualiseringar, sedan jag förklarat, uppenbarelser för många. Det mesta går att se, jag är närvarande och gör dem närvarande i mina modeller (senast en honungsmelon) och figurer. De är svältfödda på sådant.

På en lektion i samma kurs klagar en student att han "glömt" de där standardolikheterna och därtill hörande gränsvärden. Jag förklarar varför han glömt: du har försökt komma ihåg dem, lär dig dem istället!

Jag ritar grafer, som minnesstöd, och jag ritar min cirkel med tangenten dragen rätt. Det gör ett oförglömligt intryck på honom. Behovet att se har funnits latent men undertryckts.

Av vem? Varför? Fördomar, otålighet, bekvämlighet, prylmani, opportunism, feghet, tanklöshet?

När den gamla kunskapen inte når fram börjar vi allt oftare med att ändra kunskapen. Vi borde börja med förklaringarna.

Åter till P Hackmans hemsida