LINEÄR ALGEBRA ÄR DEN LÄGSTA FORMEN AV MÄNSKLIGT TÄNKANDE.

Vad är det?

Lineär algebra är i första hand ett kursbegrepp, i andra hand ett ämne eller en specialitet. Kurser har funnits sedan början av 60-talet och uppstod ur ett behov. Tillämparna märkte att saker som ideligen togs upp i än den ena, än den andra, kursen, inte behölls av studenterna. Skälet var fragmenteringen av momenten. En mer sammanhållen kurs skulle avhjälpa problemet.

Det betyder att vissa ideer extraherats och abstraherats ur specialiteterna och dragits samman till en helhet. Priset för denna koherens är en abstraktionströskel. Är man medveten om denna är det inget större problem, kunskapen kommer genom tillvänjning. Ämnet kan verka avancerat och oöverskådligt i en början - alla undervisare vet och förstår detta! - men blir till sist något elementärt och bekant. När man väl erövrat det blir det lätt att behålla.

Det är då min fräcka utsaga blir sann. Lineär algebra är en nivå till vilken man reducerar problem. Linearitet kan vara en approximation av något krångligare fenomen. Det är en förenkling, ty man kan ta isär saker i bitar och behandla dem varförsig. T ex en svängning kan tas isär i egensvängningar, en temperaturfördelning kan tas isär i grundtillstånd som avklingar exponentiellt, vart i sin takt.

Enkelheten är vacker och kraftfull. Geometriska lineära avbildningar är lineära av icke-triviala skäl, likformighet, t ex. vridningens linearitet, icke-trivial men lätt att åskådliggöra (i det plana fallet), producerar de mystiska trigonometriska additionslagarna.

Fråga: Den särklassigt vanligaste frågan, VARFÖR GRÅTER KOSSAN?

Svar: Man kan gråta av flera skäl, vemod, sorg, glädje. Jag har lättast för det första och det tredje.

Jag är cowboy, studenterna är dogies, ofta nämnda i sångerna. En dogie är en kalv som skilts från sin mamma och förts till hjorden. Mamma Ko gråter av lycka över att hennes kalv går på en fin högskola och, som alla mödrar, av vemod att han inte är barn längre. Git along, little dogies!

Fast det verkliga skälet är banalare. Det finns en fransk smältost, La vache qui rit, den skrattande kossan. Skrattet var alltså upptaget, så jag gjorde en bok med en gråtande ko, la vache qui pleure, istället. Den kanske är aningen mer hårdsmält, vad vet jag.

Till min stora häpnad har jag upptäckt att det finns studenter som gått kursen lineär algebra utan att uttyda rebusen. Första ordet är "koordinater", därav kon.

Il camoscio nell'aula - stengeten i klassrummet. Stengeten (rupicapra rupicapra) är en bergsantilop som lever i flock i Alperna. Den är skygg men oerhört vacker och rör sig med kattliknande språng i oländig och starkt sluttande terräng. Blir den rädd eller arg avger den ett frustande läte som ger intrycket att hela huvet kokar över.

Il camoscio är jag. Jag tog mig namnet, oftast förkortat il C ("il tji"), sedan en italiensk kvinna kommenterat min spänstiga framfart i Rosengarten (Catinaccio) i Dolomiterna 1988. Bilden uttrycker naturligtvis hemlängtan, ty Italien kändes ett tag som hemma. Jag har vandrat mer i detta land än något annat, lika mycket som Norge, Frankrike och Schweiz ihop.

Fråga: Varför är det så lite typexempel?

Svar: Mitt svar börjar med en fråga. Vad är typexempel? Vad är det typiska med dem?

Det typiska är att de följs av likadana övningar, kanske rentav flera likadana efter varandra med samma lydelse och det givna i samma ordning. Sifferbyten.

Kanske de rentav följs av likadana uppgifter på tentor. Då måste man börja fråga efter mål och mening. Den korrekta synen är att övningar är medel, t ex till eftertanke eller förtrogenhet. Om fyra uppgifter är lika uteblir eftertanken i åtminstone tre. Ansluter de tätt till ett utfört exempel kan eftertanken utebli helt och hållet. Lösningen ska satisifiera en lösningsgång, inte själva problemet, och nästan ingen kan pröva svaret.

På en Analys-B-tenta i januari 2000 gav vi en uppgift vi trodde var standard, att maximera en enkel funktion ("målfunktionen") under två bivillkor. Men bivillkoren gavs först, med explicita uttryck (de beskrev en cirkel i rymden) och målfunktionen hette inget och hade inget "uttryck". Den gavs istället som z-koordinaten för en punkt på cirkeln. Den nämndes sist, inte först, som seden är. Och därmed får vi in lösningar på ett helt annat (för övrigt fullkomligt trivialt) problem där målfunktionen inte ens finns med.

Jag borde ha varit beredd, jag känner ju igen fenomenet från tidigare. Man läser inte utan associerar till lösningsmönster där det givna (delar av det) händelsevis kan stoppas in.

Det är det typiska typuppgiftstänkandet, det språklösa förhållandet till matematik, något som varje matematiker med kärlek till ämnet och respekt för sina studenter känner sig kallad att bekämpa. Övriga lärare vill förvandla dem till sifferfurirer, ty "studenterna är omogna" och ska tydligen så förbli.

När jag på allvar började arbeta med Y- och D-linjernas kurser 1978 var min första åtgärd att skriva en ny exempelsamling. Denna fick omsider en ko på omslaget och 1982 byggde jag ut samlingen till en bok som ständigt revideras. Jag leddes av min erfarenhet att ställa en del frågor.

T ex, varför glömmer så många vad egenvektorer är så fort de kan ett förfarande för att beräkna dem? Eller varför blir redan de enklaste sammanhangen ofta rena mystifikationer?

På kompletteringstentor har det hänt att jag börjat med att ge en avbildningsmatris och en vektor med frågan: är detta en egenvektor. Nästan alltid börjar tentanden med att ställa upp sekularekvationen, istället för att utföra den efterfrågade kontrollen.

Rätt många lär sig tekniken att lösa första ordningens differentialekvationer med integrerade faktor. man multiplicerar med en funktion som förvandlar högerledet till derivatan av en produkt. Om högerledet redan är givet på den formen (vilket uppstår naturligt i vissa tillämpningar) utvecklar nästan alla derivatan, dividerar ned ledande koefficienten till ett, multiplicerar tillbaka den integrerande faktorn. Efter tre steg är de tillbaka där de började och kan nu fortsätta lösningen. Det är inte fel, men antyder att många aldrig uppfattat meningen med integrerande faktor.

Jag har frågat: vad är det man gör, egentligen, när man inverterar en matris? Jag har ganska ofta fått svar som "ställer upp siffror med ett streck emellan och gör radoperationer". Sällan det jag önskade: "löser de ekvationssystem som framgår direkt ur ekvationen AX = E".

Det handlar inte om hur saker "förklaras". Alla böcker ger definitionerna och exempel på dessa. Krypa-Gå förklarar i pedantisk detalj hur de omnämnda systemen ställs upp och vad man gör med dem. Det är nödvändigt men inte tillräckligt. Det väsentliga är inte vad vi säger till studenter; det viktiga är studentens egen aktivitet och uppmärksamhet.

Uppmärksamheten bestäms av vana. Många är vana vid att varje situation är förberedd för ungefär 15 minuter sedan. Därför leds de att försöka lösa övningar med metoden i det senast givna exemplet. I bästa fall uppstår då förvirring. Det är bra, ty förvirring är första stadiet i en gryende insikt - något måste vara fel. Lösningen till ett problem finns inte utanför problemet, i ett färdigt lösningspaket. Lösningen börjar med att vi frågar: "vad är detta", inte "hur gör man?".

Den allra vanligaste orsaken att studenter kör fast på inledande uppgifter är att de aldrig tillägnat sig definitionen. Det har inte kommit för dem.

Lyckligtvis är flertalet unga människor beredda till förändring och uppbrott från vanor. Vi kan påverka. Böcker är en, men bara en, del i sammanhanget. Jag har i åratal försökt konstruera enkla övningar, som är enklare än de ofta konstigt hopskruvade "typuppgifterna". Enklare, men olika, och därför skenbart svårare. Eftertanken kanske är hela lösningen. Man kanske inte ens ska utföra några räkningar! Det är naturligtvis ovant.

I sammanhanget ingår också undervisarna. De bästa intentioner kan förstöras av otåliga undervisare som löser uppgifter på tavlan för att studenterna inte ska köra fast. Robert M Pirsig skriver i sin fantastiska roman "Zen and the Art of Motorcycle Maintenance" att "stuckness is the predecessor to real understanding". Han fortsätter med att beskriva skillnaden mellan självlärda och skolade mekaniker; de senare är beredda på allt, utom en ny situation

Om en uppgift inte motsvaras av ett utfört exempel så är det ett planerat övningsvärde. Vi kan förbereda dig för nya situationer endast genom att ställa dig inför nya situationer.

När Kossan skrevs hade vi inga föreläsningar och jag satsade därför mycket på övningar som skulle öva till resultaten, inte bara på dem. Jag tror studenterna var mer beredda på detta än lärarna, ty i några av mina egna grupper fungerade detta strålande. Men jag fick till sist skrota denna pedagogik ty i det föreläsningsfria genomförandet förelästes det mer än i "konventionella" kurser.

Dagens Kossa är alltså en kompromiss. De reaktioner jag får från studenter antyder att jag lyckats behålla rätt mycket ändå av mina ursprungliga intentioner, och det tydligaste exemplet är uppgiftsserien A3-7.

Jag gör aldrig om mina böcker till typuppgiftskataloger. Då skriver jag ju böcker som redan finns. Då kan vi lika gärna byta.

PS Kossan drogs in hösten 2001, ungefär ett år försent.