Diskret Matematik och Algebra

Diskret Matematik har varit ett kursbegrepp vid LiTH sedan 1982 då C-linjen startades här, samtidigt med en liknande linje i Uppsala. Benämningen är inte helt exakt, men tycks omfatta framförallt mängdlära, satslogik, grafer, kombinatorik och diverse partialordnade strukturer: lattices (vem ger oss ett fungerande svenskt ord?) och booleska algebror. Det motsatta begreppet "kontinuerlig matematik" har ofta använts i polemiskt syfte, för något förlegat och räknemässigt (det beror förstås på vad man gör av teorierna). Ibland är ordet "kontinuerlig" ett räknetrick; genom att samla Analys och Lineär Algebra under en hatt hoppas en del att motivera stympningar som gör båda inslagen meningslösa.

Det har inte varit lätt att utröna de datalogiska motiven för kursen, eftersom endast tre personer från hela väldiga IDA deltog i min undersökning. Från studenter vet jag att t ex träd och grafer är viktiga strukturer för att analysera algoritmer; vidare kommer de in i AI.

Studiehandboken nämner i ett antal fall "begrepp ur diskret matematik". Av samtal med fr a Anders Haraldsson och Ulf Nilsson har framkommit att man egentligen önskar en definitionskurs där inte så mycket görs med begreppen. Sådant är inte roligt för vare sig undervisare eller studenter och förflyktigas därtill fort.

D-studenten John Wilander anmärker: "Jag tycker nog att Diskreta matten stannade lite för tidigt om man sen tittar på datalogi, med dess hierarkier och på digitalisering. Skulle inte slutmomenten i diskmatte kunna kopplas ihop med linjär algebra (relationsmatriser)?"

Till en början, från 82 på C-linjen (datavetenskap) och från 86 på D-linjen (datateknik) var kursen till stor del en definitionskurs. Den enda egentliga teorin var en struktursats för ändliga booleska algebror.

I samma takt som den väldiga floden av ny litteratur vällt in har målen förskjutits. Det är numera rätt mycket stoff som kan föras ned till nybörjarnivå. Inslagen av elementär talteori har förstärkts, liksom diverse elementär kombinatorik. Eftersom speciellt det senare kräver leklynne och experimentell läggning ("den ädla konsten att säga äsch", dvs. dra konstruktiva slutsatser av en misslyckad ansats) och är därför inte helt lätt. Med tanke bland annat på senare kurser, t ex min egen TATA15 Konkret matematik och TATAM54 Talteori, är dessa förstärkningar enbart förbättringar. Tvivelsutan har de också bidragit till D-kursens höga popularitet, efter en motig start.

Från år 2000 har TM:s nye professor, Svante Linusson, tagit över C-linjens kurs. Han utvecklar den egensinnigt. Sålunda ingår nu även sådant som plana grafer (som ersätter Hamiltongrafer), Fibonaccital och Catalantal, exponentiellt växande talföljder som dyker upp i ett otal sammanhang. Täckning finns helt säkert i den tusensidiga läroboken av Grimaldi.

Sedan ett par år tillbaka är C- och D-linjernas kurser hopslagna med logiken, undervisad av krafter från IDA. Viss samordning av föreläsningar och gemensamma lektionsassistenter har gett ett sken av integration som dock hittills inte visat sig på tentorna. Dessa (två delprov) är tydligt delade i logik och diskret matematik med minimikrav på bägge.

Vid sammanslagningen byttes examinator, föreläsare och lärobok ut, varvid resultaten på logiken drastiskt förbättrades, på D-linjen. UND:s förre ordförande, professor Ingemar Ingemarsson, vill skriva detta på "integrationens" konto; plötsligt fick den abstrusa logiken konkret och lockande innebörd för studenterna, från att ha varit ett omotiverat mysterium.

Det verkar förhastat att förklara resultaten utifrån endast en av fyra ändrade variabler. Aningen naivt är det att tro att en liten administrativ förändring har omvälvande effekter, bara för att den vållat stora mängder merarbete. Rundfrågningar bland studenter har blottlagt ett utbrett missnöje med arrangemanget. Det är inte ovanligt med sådana motsättningar mellan studenternas och "pedagogikens" önskemål.

Kursen TATA15 Konkret Matematik räknas på C-linjen in i det diskreta blocket. Som namnet antyder (concrete= continuous+ discrete) aktualiserar den även analys, i själva verket praktiskt taget hela Analys A, se vidare min tidigare endagsutredning om kontinuerlig matematik inom C och D. Jag kan intyga att förkunskaperna från diskret matematik är relevanta och iallmänhet tillräckliga hos de studenter som fullföljer den.

Detta är en ansträngande kurs, med rätt tidsödande inlämningsuppgifter. Uppgiften är ofta, inte enbart att visa, utan även att upptäcka (induktivt), ett samband. Kursboken av Graham mfl är unik i att diskutera problemlösning (strategier) snarare än problemlösningar (typtal). Föreläsningarna kompletterar med den teoriska röda tråd som boken saknar. Genererande funktioner (formella potensserier) introduceras mycket tidigt och blir kursens egentliga innehåll.

Kursens användningar ligger inom teoretisk datalogi. Jag har återkommande kontakt med Peter Jonsson, IDA.

Konkret Matematik går vartannat år, vilket antagligen försvårat rekryteringen. Om det finns underlag för en vartårskurs är dock ovisst, eftersom basen är smal; nästan bara C-studenter och enstaka allmänintresserade studenter efterfrågar den.

Till det diskreta blocket hör även TATA10 Abstrakt Algebra, en kurs med lagom avskräckande och missvisande namn (det abstrakta är bevismetoderna, inte resultaten). Kursen är starkt inriktad mot informationsteoretiska tillämpningar, kodningsteori och kryptoteknik. Genom Kinesiska Restsatsen skapas kontakt med både datalogi (Konstruktion och Analys av Algoritmer) och kodningsteorin. Samma kan sägas om det valfria inslaget om lineär rekursion. Jag har utvecklat material som möjliggör rätt snabba förändringar av kursen när och om behovet uppstår. Det kan finnas utrymme för en fortsättning helt inriktad på den teoretiska basen för "Computer Algebra".

Denna kurs visar obarmhärtigt på skillnader i matematisk mognad hos deltagarna, och ett visst bortfall varje år verkar oundvikligt. Det förvånar kolleger på andra håll att vi har underlag får en vartårskurs i ämnet, men det har vi, än så länge. På kursen år 2000 har jag godkänt ungefär 20 studenter.

Talteorin går, liksom Konkret Matematik, vartannnat år. Motiven bl a ligger inom kryptering, där t ex primtalstest (eventuellt probabilistiska), och faktoriseringsfrågor, är väsentliga.

De tre sistnämnda kurserna (ingen obligatorisk) utnyttjar i olika variationer alternativ examination, med inlämningsuppgifter. Åtminstone i Abstrakt Algebra har detta utvecklats till ett mycket svårhanterligt problem. Många tar inte sådan examination på allvar; t ex lämnas halvfärdiga och ogenomtänkta lösningar regelmässigt om examinator släppt till en en enda retur. Fuskproblem har också funnits varje år. Detta år, 2000, har ett ärende gått till disciplinnämnden.

Jag hoppas lösa dessa problem inför nästa års kurs. Även om det lyckas är problemen av den rangen att varje tanke på liknande i stora obligatoriska kurser (t ex TATM 72 med 800 studenter) måste avvisas.

Det verkar som om många människor blir tydligare i sin strävan om de arbetar under tydliga och strama villkor.

Åter till tablån