Abstrakta meddelanden

Var bra! Begrip! Ledning: tänk!

Hackman-Gagges sats. "Definitionsmängden i algebra är stor, men det är även värdemängden"

De återstående sex är vridspeglingar. Förbind mittpunkterna på två icke-skärande kanter. Lägg ett plan genom sträckans mittpunkt och vinkelrätt mot den. Spegla i detta plan, vrid därpå 90 grader åt ena eller andra hållet. Där har du de sex vridspeglingarna.

Nu är det förstås så enkelt som att alla de 24 permutationerna av de fyra hörnen svarar mot symmetrier.

De omnämnda vridspeglingarna är fyr-cykler (a b c d).

Tetraedergruppen kan ses som en delgrupp (av index 2) av kubens symmetrigrupp. Man tar "vartannat" av de åtta hörnen och vips har man då en tetraeder med dessa hörn. Hälften av kubens vridningar (en delgrupp) fixerar denna tetreder, den andra hälften (en sidoklass) överför den i den tetraeder som bestäms av de övriga fyra hörnen.

Den andra föreläsningen ger en bekväm begreppsram för att ta upp lite om gruppen av invertibla element i R. T ex kan man smärtfritt visa phi-funktionens egenskaper. Det är preliminärt tisdagstiderna som gäller, de övriga tiderna, 25/11 och 6/12, omvandlas därmed till jour. Jag avbeställer lokalerna till dessa på måndag.

Stencilen om CRT finns här

Stor sak är det inte. Banorna under verkan och invers verkan är förstås desamma; vidare har sigma och sigma^-1 samma fixpunkter

"Burnsides sats": antalet banor = "genomsnittliga antalet fixpunkter" visas (beviset är kort) och exemplifieras troligen med bestämningen av antalet färgningar av hörnen i en regelbunden sexhörning, med två färger. Därvid identifieras färgningar som övergår i varandra genom spegling eller vridning. (dvs. den verkande gruppen är D₆).

Föreläsning 12 ger jag icke-triviala exempel på en homomorfismer, permutationers tecken, och determinanter (permutationers tecken kan ses som ett specialfall av det senare!). En icke-trivial tillämpning av "induktionssatsen" är bestämningen av antalet 2/2-matriser med determinant 1, med element i Z_p.

13-14 handlar om gruppverkan. Till skillnad från litteraturen tar jag upp specialfallet konjugation, och den därtill hörande klassekvationen, först, fö 13, därpå det allmänna fallet, fö 14. Syftet är bland annat att få ett naturligt avslutat ämne för varje föreläsning. Jag kommer sannolikt att ge beviset för att grupper med p² element, p primtal, är abelska, eftersom jag har ett i mina ögon enklare bevis än böckerna.

Till föreläsning 14 återkommer jag

Av schemalagda föreläsnignar utgår preliminärt 25/11 och 6/12.

Förtydligande av en parentetisk kommentar, senaste förläsningen. Ett självreciprokt polynom av udda grad (över en kropp) har alltid roten plus eller minus ett och är alltså reducibelt. Med själreciprokt menar jag p(x) = konstant gånger X^dp(1/X)

När det gäller ordning av polynom modulo annat, så vill jag inte se uttömmande sökningar medels mina program, eller motsvarigheten i maple. Redovisa de potenser som betyder något för resultatet!

Som det ser ut kan jag kanske lämna dessa bevis åt sidan (som vanligt är det klockan som avgör!) och koncentrera mig på satsen att multiplikativa gruppen av K är cyklisk, en sats om bevisas på långa omvägar i böckerna. Jag tror det beviset jag presenterar är aningen enklare än det i min stencil.

Två föreläsningar om kroppsutvidgningar. I den första intar vi det passiva perspektivet. k är en kropp, K en större kropp, a ett element i K, som är algebraiskt över k, dvs. uppfyller en algebraisk ekvation med koefficienter i k. a genererar då en ring, k[a], som vi visar är en restklasskropp, k[X]/(m(X)), där m är irreducibelt. k[a] är ett vektorrum över k, och dimensionen är lika med graden av m(X).

Resten av föreläsningen ägnas åt beräkningar av minimalpolynom till diverse uttryck i det här a:et.

I den andra odlar det aktiva perspektivet. m(x) är givet, irreducibelt, och vi konstruerar en kropp K innehållande k, där m(X) får en rot. Det finns här en fräckhetströskel, som man brukar komma över med insikten om att konstruktionen av de komplexa talen också är en fräck kupp, och f ö ett specialfall av denna allmännare fräckhet.

Användningen är denna: Vi vill visa en isomorfi mellan ringarna R/I och S, dvs. en bijektiv homomorfi.

Vi definierar,och verifierar, då en surjektiv homomorfism från R till S, och visar därpå att kärnan är exakt lika med I. Klart!

Jag kommer att använda metoden två gånger, en gång för R=k[X], en gång för R = Z. "A method is a device you use twice".

Så finns en del ytterligare att säga om R/, R PID, a ej noll eller invertibel. Precis som för Z/ är elementen antingen nolldelare eller invertibla (eller =0). Vilkoret för att m+ är invertibel är precis som i heltalsfallet att idealet =<1>=R, dvs. sgd(m,a) =1. Detta kommer nog att synas av en del lämnisar, och det allmänna beviset är ungefär som heltalsfallet eller "4 medför 1" i min ekvivalenskedja. Erinrar mig just nu ingen referens i böckerna.

R/ behöver inte vara ändlig, som Z/, men har ändligt många ideal. Senare ska vi se att k[X]/(f(X)) har ändlig dimension som vektorrum över k (dimensionen = gradtalet). Det är alltid nånting som ska vara ändligt om det ska gå ihop sig!!

Nästa föreläsning tar jag upp entydig faktorisering i PID (i irreducibla faktorer, entydighet sånärsompå invertibla faktorer.)

Jag koncentrerar mig på entydighetsfrågorna. Jag lutar mig hårt mot den ekvivalens mellan fyra villkor som jag visade senast. Det gäller speciellt ekvivalensen mellan de tre sista villkoren. Gången därpå behöver jag framförallt ekvivalensen mellan de tre första! Jag vill visa på styrkan i resklassbildning, vilket åtminstone ger kortare bevis.

Jag avviker från litteraturen genom att postulera att etta avbildas på etta.

Speciellt intressanta kvotringar fås ur PID, speciellt k[X]. Svenssons bok har ett utförligt avsnitt om hur man räknar i sådana kvotringar. Uförlig hinner inte jag vara. Dock förstår jag inte varför han räknar ut inverser genomansatser istf. som för heltal, dvs. lös Bezout.

Inget är så viktigt som att veta när en restklassring (kvotring) av ett PID är en kropp. Jag visar ekvivalens mellan fyra villkor.; har icke sett den sammanställd i litteraturen. Vissa implikationer gäller för allmännare ringar, och de satserna brukar böckerna ge.

Jag uppehåller mig vid tolkningar ( i PID) av tillhörighet, idealinklusion, likhet mellan ideal samt summa och snitt av ideal. Tolkningen av summa ger snabbaste beviset för Bézout och angränsande satser.

Jag säger väl något om Z[i] också, ger exempel på divison med rest, bland annat. Det blir väl en skiss eller som tiden medger, eftersom alla detaljer står i böckerna.

Utöver detta bevisas några resultat om ex.vis ordningen av en potens och ordningen av en produkt av kommuterande element. Fermats lilla sats kanske får sitt berättigade omnämnande.

I teorin för ändliga kroppar (nästa period) kommer det att vara viktigt att veta att den multiplikativa gruppen (K, minus nollan, under multiplikation) är cyklisk, dvs. består av potenser av ett enda element. Det är ett lite tungt bevis att dra i detalj på en föreläsning så jag har skrivit ut det i postscript och i pdf. Redan bevisade satser från denna föreläsning och den första kommer till flitig användning.

De som läst talteori känner kanske igen existensbeviset för "primitiva element modulo p".

Vad som gäller för sista omgången kommer jag att meddela senast början av nästa period.

Huvudämnet för föreläsning 2 är Lagranges sats, efter lite förberedande exempel. Jag tror inte jag bevisar allt. Den viktigaste punkten på vilken jag kan komplettera böckerna är beviset för att (vänster)sidoklasserna till en delgrupp H av gruppen G, partitionerar G. Judson lämnar det som övning, Svensson verifierar först en ekvivalensrelation och visar därpå att sidoklasserna är motsvarande partition. Jag visar detta mer direkt, eftersom inte alla har läst diskmatte.

Vad som kommer efter detta bestäms av klockan.

Med en gång fastslås vikten av Bezouts identitet, att ekvationen mx+ny=1 är lösbar i heltal om och endast om sgd(m,n)=1. Vi använder den också till att visa ett par viktiga delbarhetssatser, som kommer in i gruppteorin, bland annat.

Något om hur jag föreläser. Jag följer ALDRIG medvetet någon bok. Ambitionen är att varje föreläsning inleder, avhandlar och avslutar det ämne som framgår av planen. För att föreläsningen ska stämma i tiden har jag som vana att skjuta upp åtskilliga beslut till själva föreläsningen, dvs. jag vet aldrig förrän efteråt vad det blev. Men jag vet givetvis vad jag ovillkorligen vill ta upp.

Vidare är ambitionen att komplettera litteraturen, inte ersätta den. Ännu en ambition är att genomgående välja ut endast de resultat som pekar framåt mot kursens första stora huvudmål som är existens- och entydighetssatsen för ändliga kroppar.

Jag bevisar inte allt, det skulle bli rätt tungt. Utelämnade bevis är triviala, övning eller till att slå upp, i någon av 7 = 2³-1 icke-triviala kombinationer.

Som vägledning för valet. Mitt intryck är att Judsons bok är den mer koncisa och överskådliga av de två, vilket en del uppskattar - den är alltså inte så amerikansk!.
Svenssons bok är utförligare i vissa avsnitt, och speciellt det som handlar om räkning med klasser i polynomringar. Jag kommer fortlöpande att kommentera alternativ och förenklingar till böckernas (och min) framställning.