Lineär Algebra

Det finns fyra kurser i Lineär Algebra inom civing- och ing-utbildningarna, samt en inom matnat. Den sistnämnda är under Ulf Janfalks ledning i stark utveckling. Ambitionen tycks vara att föra den närmre YDC-linjernas kurs TATM18.

På dessa program var jag själv examinator i 18 år, samt kursledare för Y-linjen i 4. Jag har också skrivit litteraturen, som omarbetats i många omgångar (och därför överlevt förkunskapskrisen). Kursen har utvecklats i nära kontakt med tillämpningarna, lika ofta företrädda av böcker som av personer. Slagsidan åt fysik och elektrisk ingenjörskonst är påtaglig; men det är inte endast därför mina böcker inte används på övriga program.

Det är nämligen ingen tvekan om att den utveckling jag påbörjade 1978, och som accelererade efter 1984, sprungit ur frihetskänslan att arbeta för studenter med en positiv förhandsinställning till matematik. Det var inte alltid så på I-linjen som dittills varit centrum i min pedagogiska tillvaro.

Detta föranleder allmänna funderingar kring tendensen att slå samman t ex alla Analys-kurser. Risken är stor för stagnation, och mest tycks det vara så med flervariabelanalysen.

Samtidigt har jag noterat otillfredsställelse med TBi-, M- och I-linjens kurser. Når dessa kurser verkligen giltiga mål? Den separata utredning jag gjorde 1999 tog sats i informella diskussioner med Mekanikgruppen inom IKP i januari detta år. Det genomarbetade material jag erhållit i samband med det här projektet visar att ingenting hänt!

Anna Dahlén, TBi (ofta citerad i denna rapport), efterlyser (inför kursen Matematiska Modelller i Biologi) momentet differensekvationer. På en linje som inte har en egen kurs i transformer är det minst sagt rimligt att detta tas upp, som tillämpning av egenvektorer, givetvis parallellt med system av differentialekvationer.

Detta är ett klassiskt moment, väl förberett i all litteratur, sen länge en höjdpunkt i Y- och D-linjens kurser.

En avgörande andel i problemet har den föråldrade och gymnasifierade konstruktionen med "storseminarier", alltså en kursorganisation utan storföreläsningar. Det har kommit att innebära att föreläsandet växer över alla gränser; stort som smått föreläses och ganska lite tid blir över till individuell handledning. Studenterna förutsätts öva i direkt anslutning till genomgångarna, vilket befäster typuppgiftstänkandet.

Speciellt på I-linjen har studenternas kritik kommit att projiceras på gruppledare som icke sällan haft framgång inom mer anspråksfulla kurser på andra program!

Erfarenheten har också tydligt visat att utan föreläsningar finns ingen ledning. Man kan inte leda utan att synas. Kurserna kör fast eftersom all målanalys uteblir. En form som förutsätter omedelbar återkoppling på korta föreläsningspass leder lätt till att undervisande examinator tar för starkt intryck av studenternas initialsvårigheter och medvetet eller omedvetet anpassar kurskraven därefter.

Ännu ett problem är den amerikanska kurslitteraturen. Som professor Anders Klarbring påpekat är det för bråttom att göra siffror av allt som har med vektorer att göra. Det visar sig att studenter kan beräkna t ex vektordifferenser och vektorprodukter utan att ha den ringaste aning om hur dessa pekar. Men så blir det kanske när den geometriska synen på vektorer snarare är en illustration än själva meningen och när exempelvis vektorprodukter definieras i koordinattermer.

Men en annan bidragande orsak kan vara uppgiftsrepertoiren. Av tradition räknar man mycket på linjer och plan, alltid i färdiga koordinater, och ofta med rätt skruvade problemställningar. Det är värt att påminna om Carl-Fredrik Mandenius' undran om matematiken missar det enkla genom att hålla på med för svåra (eller kanske onaturliga) problem. I YDC-linjens kurs ritar studenterna betydligt mer, och det är mycket trögt i början. Det är dock lätt att se hur visualiseringsförmågan tilltar genom kurserna i Lineär Algebra och Analys B.

I Mekanikgruppens material betonas även egenvektorer. Detta begrepp används i TMME40 Strukturdynamik samt stela kroppens dynamik som behandlas bl a i Y-kursen TMME23 och M-linjens TMM107. Det är också av stor betydelse i grundläggande hållfasthetslära. Många M-studenter når aldrig fram dit. För en del verkar det handla om att lösa sekularekvationer och följa vissa räknemönster. Många kan inte pröva resultaten.

Åtminstone för M-linjens del ser det ut som om allt viktigt händer i början och slutet. Det är därför viktigt att ha en vettig inriktning på de kursmoment som förbinder kursens båda ändar. Den stora frågan är hur abstrakt kursen ska drivas. Det mesta, utom den allra abstraktaste teorin, har icke-triviala tillämpningar i tre dimensioner, någon gång också i rummet Rⁿ. Det verkar därför dumt med en abstraktionsnivå som alienerar studenterna och leder till avhopp.

Några ord förtjänar att i sammanhanget sägas om tillämpningsanknytningen. För studenternas motivation betyder den sannnolikt föga, eftersom egentligen ingenting blir lättare av sådant. De flesta teknologer har inget brinnande teknikintresse när de börjar här och mångas reaktion är "vi har nog att göra med själva matten". Samtidigt tror jag att det är viktigt att studenterna tidigt ser att begrepp står för något t ex att egenvektorer har med (bland annat) egensvängningar att göra. Studenternas vana, typuppgiftstänkandet, att matematik saknar både mening och sammanhang, måste givetvis brytas.

Flera tillfrågade, t ex på IKP, har noterat att steget är långt från matematikens räkneobjekt till den fysikaliska verkligheten. Det som kan göras från TM:s håll är att via litteraturen, föreläsningar och enkla övningar, ge något slags innebörd åt begreppen. Mer än så ska man nog inte försöka. Med tanke på den stadiga försämringen av utgångsläget är det mycket nog.

Amerikanska böcker i lineär algebra anknyter så gott som aldrig till mekanik. Svenska böcker gör det nästan alltid.

I-linjens kurs har kommit att ta delvis andra vägar. Den uppfattas ofta som den abstraktaste av allihop. Det kan verka viktigare att verifiera axiomen för en exotisk flora av skalärprodukter än att använda åtminstone en av dem till något. Detta framgår klart av kursledarens deklaration i samband med matematikreferensgruppens arbete för något år sedan.

Det kan vara dags att diskutera om I ska närma sig M eller tvärtom profilera sig genom nära koppling till ekonomiska specialiteter. Tillgänglig kurslitteratur pekar åt det förra hållet.

Ingenjörsutbildningarnas lineära algebra har gjort dygd av nödvändigheten. Den ringa matematiska förmågan hos många studenter framtvingar en mer konkret uppbyggnad, huvudsakligen baserad på Anders Tengstrands lärobok och Göran Forslings rosade föreläsningar. Det är väldigt tredimensionellt, och leder till en kanske smalare, men stadigare, kunskap. För civilingenjörernas tillämpningar är detta på intet vis tillräckligt.

Det är ett vanligt beklagande att lineära algebrans tillämpningar dröjer så länge. T ex Reglerteknik läser de flesta i årskurs 3. För en del har detta varit ett argument att flytta upp lineära algebran (och annan matematik), dvs. upprepa ett redan begånget och korrigerat misstag!

Det skulle uppenbart fördröja många studenters mognad; dessutom är studenter ofta piggare och mer fyllda av föresatser i början av en utbildning. Det naturliga vore motsatsen, att flytta tillämpningar längre ned i årskurserna. På D-linjen kommer Regler att ligga redan i termin fem.

Vidare framgår av studentkommentarer att vissa examinatorer verkar rädda att utnyttja lineära algebrans begrepp och metoder där det faktiskt går, och där det förenklar. Det gäller åtskilliga kurser i tvåan och trean.

Lineära algebran är helt dessutom oundgänglig förkunskap till flervariabelanalysen. Detta kunde göras mycket tydligare om differentialkalkylen förstärktes och drillen med variabeltransformationer i andra ordningens differentialuttryck byttes mot naturligare uppgifter närmare verklighet och åskådning. Till en del har detta redan skett.

Det kan också vara värt att påpeka att de linjer där man gått längst i att skjuta upp matematik, C och IT, också uppvisar de sämsta resultaten.

Åter till tablån